关于单位根的零和

by path2math on 九月 10, 2010

感谢一位神龙见首不见尾的高人对我上一篇文章的评论。这评论引导我找到了下面这部非常有意思的文档:
《VANISHING SUMS OF ROOTS OF UNITY》 by HW Lenstra, Jr
简单地说,如果要解方程
\sum_{i=1}^{k}\alpha_i\eta_i=0
其中\alpha_i是有理数,\eta_i是某n次单位根但n可以任意取。
这时我们可以假定n是无平方的,即n可以写成若干个不同素因数之积,并且可以假定素因数的大小不超过k,而本质上不会忽略掉任何的解。
这样一来我们要考虑的可能性就只有有限多个了。
用这个方法可以解决上一篇文章中提出的问题。

我本以为自己对数学已经知道很多……

by path2math on 九月 9, 2010

求助。问题如下。
定义集合 A = { cos(qπ); q为有理数 }
这里 cos() 是余弦函数,π是圆周率。
定义函数f(a,b,c)=(b-a)/(c-a) 。
现有两个三元组,(a1,b1,c1)与(a2,b2,c2),
条件是a1<b1<c1, a2<b2<c2,
并且a1,b1,c1,a2,b2,c2都是集合A的元。
问:f(a1,b1,c1)与f(a2,b2,c2)在什么情况下相等?

显然的情况一是当(a1,b1,c1)=(a2,b2,c2)的时候。
二是当b1=b2=0, a1=-c1, a2=-c2的时候。
问题是有没有其他情况?

解这个问题大概会需要一些数论特别是分圆多项式的知识。
我想了两天了,束手无策。
这个问题和下面这个问题密切相关:
正多边形的对角线在什么情况下会三线共点?

关于关于书本的书本的书本。

by path2math on 十二月 10, 2009

  1906年,阿基米德著《方法》在伊斯坦布尔的一家修道院中被发现,这张抄有数学内容的羊皮纸在中世纪时被抹去改抄宗教典籍,抹得不够干净的部分在历经2300年后得以重见天日。这本《方法》和欧几里得的《原本》,几乎是古希腊光辉灿烂的数学界留给我们的仅有的孑遗。在《方法》中阿基米德写道(大意):“机械的、力学的方法可以带给我们知识,这样得到的知识是不严密的。我们必须用几何学来证明它。但是如果能从力学的方法中得到一个关于要证结果的预想,将毫无疑问会对证明大有帮助。这是之所以欧多克斯能够率先证明锥体的体积是底面积乘以高的三分之一,也是之所以这荣誉有一大半要归功于没有严格证明但最早指出这一事实的德莫克里特。”接下来阿基米德演示了如何用力学的方法得到“抛物线的切片是同样底和高的三角形的三分之四”(设有抛物线X与一直线l相交于两点a、b,作l的平行线l’与X相切于点c,则X与l之间的面积是三角形abc的面积的4/3倍)这一猜想,以及如何用欧多克斯的穷竭法来证明这一结论。
  据说欧多克斯穷竭法的灵感来自于德莫克里特的原子论,而德莫克里特的这一想法则要追溯到毕达哥拉斯“万物皆数”的哲学。据说德莫克里特著有《关于毕达哥拉斯学派》、《关于无穷小》、《关于无理数》等等的著作,可是没有一本流传下来。而关于毕达哥拉斯,我们甚至不知道他的任何一本著述的名字。

关于漫画《幽游白书》中空间构造的分析

by path2math on 十一月 27, 2009

    如果你没有看过《幽游白书》,或者不懂拓扑学,(这个条件大概要剔除掉世界上90%以上的人,)请不要期待下面能看懂我在说什么。自娱自乐吧。
    《幽游白书》中人类世界、灵界以及魔界的空间位置关系是一个令(一小部分)人感兴趣的问题。下面我将从漫画中的描述出发对这一问题做出我自己的推论。
    首先毫无疑问人类世界的空间是一个三维流形。另一方面从浦饭与其他妖怪的打斗等等来看,魔界也是三维的。仙水打开的连接人类世界与魔界的洞是二维的。雷禅在回忆中描述,上古的时候魔界与人类世界是表里相通,妖怪可以自由来往。从这些我们推测,魔界与人类世界的交叉是二维的,而这样的二维面覆盖了整个人类世界。我们知道,在四维空间中的两个三维子流形的横断的(transversal)交叉总是二维的。因此这暗示了一个四维的“全空间(total space)”的存在。另一个重要线索来自小阎王的描述:魔界是非常广阔的,分为许多层,灵界所管理的只是第一层的一半。这个描述给出了非常丰富的信息,我们之后还会不时地引用。“魔界分为许多层”这句话已经非常明显的说明了,全空间是一个纤维丛,每根纤维是三维的,这就是一层魔界。(请不要被小阎王做这个描述时所画的示意图所误导,在那个图上一层层的魔界被画成摞在一起的一层层面饼的样子,仿佛魔界是二维的;但我们要记住这只是为了向浦饭这种没大脑的人做说明所画的示意图。)4-3=1,所以底空间是一维的,在这里我们做一个数学上的假设,即假设全空间是连通、紧致、没有边界的流形。于是立即得出底空间是圆周S1。我们把这按照惯常的记号画成下面的图:

求助(兼论一个数学学生的乌托邦幻想?)

by path2math on 七月 4, 2008

一直关注格致。虽然好久没有冒泡了。

请问时常飘过这里的电脑高手们,如果想做一个从U盘启动的最最简单的操作系统(比如说像GHOST那种样子的),在里面只需要放入一个标准的C++编译器,一个可以用鼠标的文本编辑器,和一个可以把latex写的公式比较漂亮地显示在屏幕上的东东。也许还可以往硬盘和光盘里写入数据。(再也许那U盘自带MP3播放功能?)这样一个东西做起来容易吗?

我是学数学的,知道很多算法,会写C++程序,但是每次想用电脑算点什么的时候都要为操作系统、数据记录、输入输出而头疼。当然也有很多现成的计算软件,先要GOOGLE到它的网站,下载安装,啃帮助文档,然后也许只是用它做一两行计算,然后把几个这样的软件得到的结果合起来,再自己写个程序分析,最后得到的结果拿去论文发表。

为什么会这么麻烦呢?为什么在个人电脑如此普及的今天,大部分的数学学生在大部分的时间里仍然习惯用笔和纸来做计算?即使是像我这么讨厌计算的?学数学的人大多弱势而内向,喜欢简洁明了,害怕麻烦,容易在计算机科学喧嚣的标准纷争中迷失。并且他们大多自我中心,别人的东西永远不如自己做的用起来顺手。放眼周围,我的身边到处都是CPU,但是真正可以随时随地随意使用的,还是只有我手里紧紧攥着的那支笔,和口袋里永远塞着的一张白纸。