这一篇纯属自娱自乐。顺便试一下格志新的DruTex。
设A是可换环。对于A上的n阶矩阵M，把它的特征多项式det(Ix-M)（I是单位矩阵）记为f(x)。Cayley-Hamilton定理说，如果把矩阵M代入它的特征多项式里，得到的结果f(M)是零矩阵。这个学过线性代数的人都知道，不过既然这篇纯属自娱自乐，我就来扯扯这个定理。
我不知道那个电池摊儿是从什么时候起就摆在那里的，就像我不知道地铁站出口的那个韩国人是从什么时候起每晚在那里卖辣白菜的。“キムチいかがですか～？”她说这话的时候也是低着头，声音刚好让我听到，然后我就抬起眼皮朝她前面的一个板凳上看上一眼。那上面摆着一个橡皮筋扎口的透明塑料袋，袋子圆圆地鼓着，里面是一团黄绿、橙红混合的暧昧物体。我每看这东西一次就会打个哆嗦，然后不由地偷偷扬起眼睛打量一下她的脸，又在自己都还没反应过来的时候做贼似的逃开。
那还是许多年以前。那时我还是一个无知也无害的留学生，早上起不来，晚上睡不着，每天浑浑噩噩地混日子。东京早晨的地铁车厢里异常安静，我常常拉着吊手就靠在别人背上睡过去。如此第一节课永远迟到，我总是低着头从后门走进教室，在最后一排痴痴地坐上一会儿，然后下课，我又低着头从后门走出来。晚上我在便利店站班，总是在没人的时候一遍又一遍地数着香烟盒子。墙上那张AV广告半年都没有换过，我让视线尽量避开那个女人露出来的白牙齿。生活。总是一天一天的过。
而一切都是从那个电池摊儿开始的。
那天早晨我像往常一样下楼梯进入地铁站里，那下面涌上来的风照例吹得我脚步轻浮，我晃荡到站台上，又依着惯性一直往里走。在东京几乎每个人每天早晨都会站在一个相同的位置等车，他们习惯性地下台阶，习惯性地走一段，停下。地铁来了，上车，到站，下车，正好就在正确的出口的正确的台阶下。我也不例外。每天都依着惯性，一直往里走，一直往里走。
站台的最里面是吸烟角。我很讨厌烟味。可是真奇怪，之前我一直都没注意到。
高速乘方计算
比如[tex]x^{256}=(((((((x^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2[/tex]，因此只要做8次乘法就可以完成了。再比如[tex]x^{290}=x^{256}\cdot x^{32}\cdot x^2[/tex]，所以我们只需要在计算[tex]x^{256}[/tex]的过程中保留下[tex]x^{32}[/tex]和[tex]x^2[/tex]的值，最后把它们乘起来就可以了。一般来说，计算[tex]x^k[/tex]只需要做[tex]\log_2k[/tex]次左右的乘法。
“工业水准素数”
费马小定理说，如果p是素数，a和p互素，则[tex]a^{p-1}\equiv 1[/tex](mod p)。如上所述乘方计算是非常快的，所以这给大致判定一个数的素性提供了一个非常方便的方法。如果一个数n满足[tex]a^{n-1}\equiv 1[/tex](mod n)，则称n为“以a为底的拟素数”。
是拟素数而不是素数的数虽然不是很多，但也不算少。特别是，还有一种数叫做卡迈克尔数，这种数不是素数，但是以任意和它互素的一个数为底它都是拟素数。最小的一个卡迈克尔数是561=3*11*17。
e是什么
[tex]e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+\cdots[/tex]
你得承认这个式子很美好。我赞成把这做为e的定义。不仅因为这形式上的美观，还因为这是个收敛很快的级数。如果一个数不是有理数，也不能表示成某个整式的根，那级数几乎是最好的选择。到头来我们最习惯的还是加加减减。而且它还收敛很快。对于这样一个超越数来说，我们能多有效地用有理数去逼近它，简直就是衡量我们对其理解程度的标尺。真的，到现在我还不明白[tex]\pi[/tex]到底是什么，就是因为它没有这样一个美好的式子。
e的无理性
令[tex]S_n=1+1+1/2!+\cdots+1/n![/tex]。[tex]S_n[/tex]可以写成一个分母n!的有理数。它和e的误差是
[tex]\epsilon_n=e-S_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots[/tex]
[tex]=\frac{1}{n!}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots)[/tex]
[tex]<\frac{1}{n!}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots)=\frac{1}{n!\cdot n}[/tex]
我们就要看到，这误差（相对于[tex]S_n[/tex]的分母来说）是如此之小以至于e不可能是有理数。
事实上，假设有整数p、q使得e是方程qx-p=0的解。把e的近似[tex]S_n[/tex]代入这个方程，易知[tex]qS_n-p=-q\epsilon_n[/tex]。这个等式的左边乘上[tex]S_n[/tex]的分母n!后变成一个整数（我们总可以让这个整数不为0，因为方程qx-p=0只有一个根，而我们有无数个不同的[tex]S_n[/tex]），而右边，[tex]\epsilon_n[/tex]即使再乘上q乘上n!后，仍然是趋于0的。于是矛盾产生了。
逻辑
数学是一门诡辩的艺术。而逻辑，是一个哲学概念。逻辑似乎有很多种，人们在“什么样的推导才能保证结论是绝对真理？”这个问题上争论不休。而数学只有一个，那就是千百年流传下来的，最使人信服的诡辩之术的集大成。
当然我们也会心存不安。诡辩这东西，终究让人心里没底。如果有一件事明明是对的而我们没法用诡辩把它推导出来，这不是很失败吗？反之如果每一件事无论对错我们都可以用诡辩把它推导出来，这不是很无赖吗？所以说两头都不讨好。这种时候我们通常需要寻找一个终极关怀。这东西虽说往往会在哲学或者宗教里面找到，但是如果你中毒很深，就会发现除了数学这个世界上已经没有别的东西能让你信服了。所以到头来还是非数学不可，于是我们有了数理逻辑。
数理逻辑
就象所有的数学分支一样，首先你要有一堆符号。这些符号连在一起组成一些式子，你要规定什么是对象式，什么是逻辑式。这样你就有了一个形式体系。对象式相当于这个形式体系里考察的对象，逻辑式相当于形式体系里的命题。
然后你要有一个意义论。也就是说对于形式体系里的对象式，我们如何把它理解成实际意义上的对象；对于逻辑式，如何把它理解成一个命题。把我们的世界转化成一堆杂乱无章的符号实在是太容易了，反过来要从一堆杂乱无章的符号里看出我们的世界，则很难。但在这里一般没有什么问题，因为我们通常按照我们想要表达的意思来规定符号，特别是规定符号的和决定意义论的通常都是一个人。