e是什么

[tex]e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+\cdots[/tex]
你得承认这个式子很美好。我赞成把这做为e的定义。不仅因为这形式上的美观，还因为这是个收敛很快的级数。如果一个数不是有理数，也不能表示成某个整式的根，那级数几乎是最好的选择。到头来我们最习惯的还是加加减减。而且它还收敛很快。对于这样一个超越数来说，我们能多有效地用有理数去逼近它，简直就是衡量我们对其理解程度的标尺。真的，到现在我还不明白[tex]\pi[/tex]到底是什么，就是因为它没有这样一个美好的式子。

e的无理性

令[tex]S_n=1+1+1/2!+\cdots+1/n![/tex]。[tex]S_n[/tex]可以写成一个分母n!的有理数。它和e的误差是
[tex]\epsilon_n=e-S_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots[/tex]
[tex]=\frac{1}{n!}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots)[/tex]
[tex]<\frac{1}{n!}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots)=\frac{1}{n!\cdot n}[/tex] 我们就要看到，这误差（相对于[tex]S_n[/tex]的分母来说）是如此之小以至于e不可能是有理数。 事实上，假设有整数p、q使得e是方程qx-p=0的解。把e的近似[tex]S_n[/tex]代入这个方程，易知[tex]qS_n-p=-q\epsilon_n[/tex]。这个等式的左边乘上[tex]S_n[/tex]的分母n!后变成一个整数（我们总可以让这个整数不为0，因为方程qx-p=0只有一个根，而我们有无数个不同的[tex]S_n[/tex]），而右边，[tex]\epsilon_n[/tex]即使再乘上q乘上n!后，仍然是趋于0的。于是矛盾产生了。

网上转悠的时候看到美国Stetson University一个Associate Professor(Erich Friedman)的网页上有个栏目叫Math Magic。从98年底开始就有一个每月一题的栏目，可以把答案mail给他。2004年8月份的题目是，如何利用[tex]1-n[/tex]的整数以及+ – * / ( ) ^ 这几个运算来得到与几个常见的常数近似的数值，常数中有[tex]e=2.7182818… , \pi=3.141592654…. [/tex]等。最后回信当中有一个叫做Richard Sabey的家伙给出了大量近似表达式，其中包括下面这个夸张的结果：

将1-9这九个数字写成如下形式
[tex](1+9^{-4^{7\times6}})^{3^{2^{85}}} [/tex]
最后计算所得值与[tex]e=2.7182818… [/tex]之差居然小到[tex]-2.01\times 10^{-18457734525360901453873570}[/tex]！就是说准确到小数点之后18457734525360901453873569位。当然还有很多准确到小数点之后几十位的结果，相比之下就变得不值一提了。

虽然没什么用处，但确实是有趣的一件事情。

其他参考网页
Worfram Math World – e Approximations 给出了其他很多近似的式子。