关键词为 “数论” 的文章

关于单位根的零和

by path2math on 九月 10, 2010

感谢一位神龙见首不见尾的高人对我上一篇文章的评论。这评论引导我找到了下面这部非常有意思的文档:
《VANISHING SUMS OF ROOTS OF UNITY》 by HW Lenstra, Jr
简单地说,如果要解方程
\sum_{i=1}^{k}\alpha_i\eta_i=0
其中\alpha_i是有理数,\eta_i是某n次单位根但n可以任意取。
这时我们可以假定n是无平方的,即n可以写成若干个不同素因数之积,并且可以假定素因数的大小不超过k,而本质上不会忽略掉任何的解。
这样一来我们要考虑的可能性就只有有限多个了。
用这个方法可以解决上一篇文章中提出的问题。

我本以为自己对数学已经知道很多……

by path2math on 九月 9, 2010

求助。问题如下。
定义集合 A = { cos(qπ); q为有理数 }
这里 cos() 是余弦函数,π是圆周率。
定义函数f(a,b,c)=(b-a)/(c-a) 。
现有两个三元组,(a1,b1,c1)与(a2,b2,c2),
条件是a1<b1<c1, a2<b2<c2,
并且a1,b1,c1,a2,b2,c2都是集合A的元。
问:f(a1,b1,c1)与f(a2,b2,c2)在什么情况下相等?

显然的情况一是当(a1,b1,c1)=(a2,b2,c2)的时候。
二是当b1=b2=0, a1=-c1, a2=-c2的时候。
问题是有没有其他情况?

解这个问题大概会需要一些数论特别是分圆多项式的知识。
我想了两天了,束手无策。
这个问题和下面这个问题密切相关:
正多边形的对角线在什么情况下会三线共点?