这应该是“测度理论”专题的最后一篇文章。第四篇中，我提到仅用外测度的前三条性质加上开集的可测性这一条就能得到外测度的第四条性质，同时我还指出，这有可能预示着可以以开集为基础定义测度，这一篇我们就来详细地看这个问题。

我们已经得到了测度和可测集的定义，简言之，测度就是可测集的外测度。到目前为止，我们几乎又进入了一个较为抽象的阶段，我们知道测度和可测集，但却都是在概念的意义上，而对可测集缺乏一个基本的认识，仅仅Caratheodory条件并不能非常直观或者说直接的说明可测集与我们已经熟知的一些集合的关系，这一节，我们就是要从这个角度入手，更进一步的认识可测集的性质。

上一篇结束的时候提到了外测度与传统的体积概念两者之间一个引人注意的差别。这个差别是关于外测度和体积的可加性：传统的体积允许将两个区间的体积相加，只要这两个区间满足不相交的条件；但这一性质，在外测度的范畴内却得不到满足。为什么会有这样的差别？这一篇中，我们首先要考察的就是如果允许这样的加法进行的话，会有什么样的后果或者说结论。我们来构造一个集合：

我一直在考虑,是从最抽象的角度说明测度的本质还是通过我们熟知的一些概念深入到某种特殊的测度,再上升到一般.记得杨振林曾经说过,中国的学生擅于演绎,美国的学生擅于归纳,言下之意就是中国的学生从特殊归纳到一般的能力不足.既然如此,我不妨遵循一般教科书的顺序,从普遍易于接受的特殊测度讲起(事实上,对于内容简单的实变函数书来说,这已是其测度理论部分的全部内容).

好吧,”我们”知道分形空间中利用的是Hausdorff维数和Hausdorff测度,那么Hausdorff测度是很重要了,但它只是众多特殊,具体的测度中的一个.在计算长方形的面积时,我们用”长乘以宽”,一维的度量量可以毫无障碍的过渡到二维,这是一个看似简单的问题,但要把它说清楚却不那么容易.其实,这些问题和传统的数学分析当中,关于积分和极限次序的可交换性这个看似更复杂的问题有着同一个背景.我们习惯于在一个欧氏空间中讨论问题,习惯于其简单清晰的度量概念 (或者