我们已经得到了测度和可测集的定义，简言之，测度就是可测集的外测度。到目前为止，我们几乎又进入了一个较为抽象的阶段，我们知道测度和可测集，但却都是在概念的意义上，而对可测集缺乏一个基本的认识，仅仅Caratheodory条件并不能非常直观或者说直接的说明可测集与我们已经熟知的一些集合的关系，这一节，我们就是要从这个角度入手，更进一步的认识可测集的性质。

在所有种类的集合当中，最基本的也是我们最为熟悉的恐怕就是开集（在相同的意义上，我们也可以说是闭集）。开集是这样一种集合：对于开集中的任意一点，其“周围”的所有点都属于同一个集合，开区间就是最为简单的开集，更复杂的开集是有限个开区间的并与交，我们在最初定义外测度的时候，就是利用了开区间的体积这个概念，同时只需要非常简单的推理就会发现开区间满足 Caratheodory条件，即开区间是可测集，那么一个自然的问题就是，开集是否也是可测集呢？答案是肯定的，证明需要稍微复杂一些的推理，将用到外测度古怪的第4条性质，所以在这里省略。有意思的一点是，结合外测度的前三条性质和开集的可测性，我们可以推导出外测度的第4条性质，这揭示了一个深层次的问题，意味着我们可以以开集为基础定义测度，这一点将在日后广义测度的问题当中再次提到，我们就能发现这将是多么基本的一个性质。

有了开集的可测性，好处就是我们可以更清楚的认识可测集。这里要再次引入数学上的一个概念： ϭ -代数。我们通过开集构成的ϭ -代数来认识这个概念：众所周知，有限个开集的交和并仍然是开集，可列多个开集的并是开集，但可列多个开集的交却不一定是开集，尽管如此，我们仍然将由可列个开集取交得到的集合记为Gð型集，与之对应的，由可列个闭集取并得到的集合记为Fϭ型集，而闭集又可以从开集取补而得到，于是无论是开集，闭集，Gð 型集，Fϭ型集都可以从开集得来，我们把这些集合的全体叫作由开集得到的ϭ -集类，或者是Borel集。研究Borel集，我们知道Borel集对于并，做差，可数并是封闭的，这也正是ϭ -代数在数学上的定义。再回到测度上来，从开集的可测性和Caratheodory条件出发，我们可以推知Borel集是可测的，下面要不加证明的写出两条定理，以更完全的说明可测集和Borel集的关系。

1.对于任意集合E，都存在Gð型集合G，满足：G包含E，G的测度等于E的外测度。

2.对于任意可测集E，都存在Fϭ星集合F，满足：E包含F，F的测度等于E的测度。

根据第2个定理，我们可以做这样的推理：令F’=E-F，于是F’可测，且F’的测度为零。这样，就得到了我们需要的结果：任何一个可测集都是Fϭ型集合与一个零测度集合之并。至此，我们可以看出可测集与开集的直接的关系，而在关于测度理论的最后一篇文章当中，我将回到本篇前面所提到的结论：可以以开集为基础定义测度，并且将这种方法推广，跳出欧式空间，对于一般的集合环定义测度并将这种测度进行扩张，这有助于我们深入的认识“测度”这个概念的本质。