上一篇结束的时候提到了外测度与传统的体积概念两者之间一个引人注意的差别。这个差别是关于外测度和体积的可加性：传统的体积允许将两个区间的体积相加，只要这两个区间满足不相交的条件；但这一性质，在外测度的范畴内却得不到满足。为什么会有这样的差别？这一篇中，我们首先要考察的就是如果允许这样的加法进行的话，会有什么样的后果或者说结论。我们来构造一个集合：

取(0,1)开区间，任取其中一个元素x，将(0,1)中所有与x距离是有理数的元素取出来组成一个集合，可以知道对(0,1)中所有的元素进行这样的操作以后，可以将开区间(0,1)分成若干个互不相交的集合，从每一个这样的集合中取出一个元素，组成一个新的集合，我们把这个集合标记为Ŝ。接着，将(-1,1)中所有的有理数取出，按从小到大的顺序排列r1,r2,…, rn,…（这里有必要说明，任一个有理数集合都是可列的，对于可列这个概念的直观理解就是可以将其一个一个写出来，既不重复也无遗漏），将Ŝ按照 r1,r2,…,rn,…进行平移，我们把平移后得到的集合列标记为Ŝ(r1),Ŝ(r2),…,Ŝ(rn),…，只要简单的推理就知道 Ŝ(r1),Ŝ(r2),…,Ŝ(rn),…是互不相交的，而且它们的并集是(-1,2)的子集，且它们包含区间(0,1)。如果，外测度是可以进行之前所提到的加法运算的话，在这里就能推出矛盾：Ŝ的外测度既是0又不是0（详细的推导省略）。

也许有人会想，或者可以改变定义外测度的方法来克服这个问题，使得不相交点集的外测度可以相加。但事实上，这是一个实质性的困难，在引出上面这个矛盾的例子中并不需要借助外测度的定义进行推导，只要外测度是体积概念的推广，即具有平移不变性和上一篇中的性质(1),(2),(3)，就不可能克服这个问题。

但是，将体积概念进行推广，并不是要抛弃原先的一些简单而有用的性质，我们仍然需要尽可能将不相交点集的外测度进行相加，可以想见的一个办法就是将满足这个性质的点集提取出来进行单独的研究，数学家们由此将这些点集定义为可测集，可测集的外测度就叫作它们的测度，而如前所述的那个矛盾中提到的集合就是不可测集，需要再次提醒的是，任何点集都具有外测度，但只有可测集具有测度。

下面的一个问题就是，如何简单有效的判断一个集合是否是可测集。

我们不加分析和推理的引出一个概念，在数学上叫作Caratheodory条件，它说的是一个集合U如果可测，那么对于任何集合T，满足，T的外测度等于T在U和U的补集当中两个部分的外测度之和。

至此，可测集就定义完成了，它带来的进步是对度量的更深刻认识，不仅仅是一段区间，甚至看似没什么规律的无穷多的点，人们都可以测量和计算其长度与面积，由测度论引发的积分理论的进步，为数学和物理的进一步研究铺平了道路，并且在更广泛的领域深刻的影响着人类生活的各个方面。