这应该是“测度理论”专题的最后一篇文章。第四篇中，我提到仅用外测度的前三条性质加上开集的可测性这一条就能得到外测度的第四条性质，同时我还指出，这有可能预示着可以以开集为基础定义测度，这一篇我们就来详细地看这个问题。

我们首先回顾当初怎么定以外测度的，通过了这样几个步骤：第一，对于区间来说，将其体积定义为外测度；第二，对任何点集，用开区间覆盖点集，并取这些开区间外测度（也就是体积)之和的下确界，将这个下确界定义为点集的外测度。这种定义有直观的优点，从我们熟悉的区间的体积推广到外测度这个更加广泛的概念，有一个遗憾之处是开区间并不是有很好的“集合性质”的一类点集，这么说的意思是，两个开区间进行一定的集合运算后得到的新集合不一定仍是开区间。我们想到之前提及也许可以通过开集来定义测度，开集的本质是什么，也许会有很多的答案回答这个问题，但这里需要的一条是“开集由可数多个不相交的左开右闭的区间取并而成”，同时我们必须回忆起数学当中“集合环”的概念：对于一个集合类当中的元素A，B，如果A并B和A-B仍然属于这个集合类，那么这个类就是一个环，而有限个左开右闭区间取并而成的集合构成一个集合环。那么这和开集又有什么关系？我们下面来看一看用一种略微有些不同的方法定义外测度会有什么不同。

将覆盖用的点集换成左开右闭的区间，这个步骤很简单，只要在原先每个开区间的右侧加上一个点即可，而这一列左开右闭的开区间构成了一个开集，那么点集的外测度就可以叙述为包含点集的开集的测度的下确界。再由开集的可测性，我们就知道如果将左开右闭区间的体积定义为其外测度的话，这个外测度是具有完全可加性的（具体的含义将在下文指出），于是这个外测度就是左开右闭的区间构成的集合环上的测度。再将这个测度推广或者说扩张到一般欧氏空间的点集就得到了我们已经熟悉的测度概念。也许有人认为这种变化是一种吹毛求疵，的确，左开右闭的区间和开区间只相差了一个点而已，这种变化对于欧氏空间来说是微不足道的，我也认为将这种改变理解为形式上的也许更合适。但就像我们写文章时一样，虽然一个意思可以有很多种表达方法，但我们通常都在追求一种最为通顺和简洁的语调。而新引进的这个变化就可以理解为一种理论上更通顺的定义。事实也证明，当数学家们在试图推广测度的定义，将其一般化的时候，他们选择了从集合环上进行扩张这个方法。

下面我们来看看如何从最一般的角度定义测度，这是一种最广义的测度，以至于欧氏空间中的测度，Hausdorff测度都是它针对不同情况的特殊化。我将复述某些教科书上已有的内容，并尽量陈述的清晰一些。

首先是集合环的概念，前面已经说明，其含义是对于一个集合类当中的元素A，B，如果A并B和A-B仍然属于这个集合类，那么这个类就是一个环，进一步，若类中所有元素都是集合R的子集，并且R也包含在类当中，那么这个集合类就是一个域。

接着定义集合环上的外测度和测度：集合环的外测度是一种集合函数f，这个函数满足一些条件，1.f(ø)=0，2.具有单调性，即若A是B的子集，则f (A)<=f(B)，3.具有可加性和次可加性，可加性是说A和B不交时，f(A+B)=f(A)+f(B)；次可加性是指对一列集合：A1, A2,...,An,...将其并表示为A，于是f(A)<=f(A1)+f(A2)+...+f(An)+...。4.还要提出完全可加性的概念：当A1,A2,...,An,...互不相交时，f(A)=f(A1)+f(A2)+...+f(An)+...。如果集合函数f满足1，2，3，那么就说f是集合环上的外测度，当f还满足4的时候，就说f是集合环上的测度。 下一步要将集合环上的测度进行扩张。令E是这样一个集合，其元素可以被前述集合环中可列个集合覆盖，我们来定义E中任何一个元素X的外测度m*X，m*X =inf{f(A1)+f(A2)+...+f(An)+...，A1,A2,...,An,...覆盖X}。再引入Caratheodory条件，判定 X的可测性。 至此，集合环上的测度已经扩张到了新的点集上，就如同欧氏空间当中那样，将所有可测集合取出可以构成一个ϭ-代数，如果测度是从集合环扩张而来，那么新的 ϭ-代数就是一个ϭ-环。再简单说一下“完全性”的概念，如果某一个集合X的测度为0，则X的所有子集测度也为0，那么就说定义的测度是完全的（或者完备的）。不加证明的指出一点，任何一个环上的测度都有一个完全的扩张。同时还有一个重要的结果是，集合环上的测度的扩张并不唯一，我前面所介绍的只是其中的一种方法。 我们花了很多篇幅来了解了集合环上测度的扩张，这是有着客观要求的，数学的发展要求人们走出欧式空间，比如泛函分析要求考察紧空间上的测度，群表示论与 Lie群则要求讨论紧群上的左平移不变测度，可见在更为抽象的空间上找到有力的定义测度的方法是至关重要的。我们也可以看见，数学正是从相对简单的小问题发展到更加抽象和困难的内容，这提醒我们，永远不要因为解决了某个问题而沾沾自喜，毕竟我们的面前还有更深刻的数学。