好吧,”我们”知道分形空间中利用的是Hausdorff维数和Hausdorff测度,那么Hausdorff测度是很重要了,但它只是众多特殊,具体的测度中的一个.在计算长方形的面积时,我们用”长乘以宽”,一维的度量量可以毫无障碍的过渡到二维,这是一个看似简单的问题,但要把它说清楚却不那么容易.其实,这些问题和传统的数学分析当中,关于积分和极限次序的可交换性这个看似更复杂的问题有着同一个背景.我们习惯于在一个欧氏空间中讨论问题,习惯于其简单清晰的度量概念 (或者这种简单清晰仅仅因为我们的习惯),但事实上,把度量向更抽象的空间进行推广确实大有好处,可以解决更多的问题,也使我们看待世界的眼光更加深刻.

首先回顾一下在欧氏空间中怎么度量长度的,以一维的线段为例.归纳我们习以为常的计算方法的话,有这样几条基本性质或者说假设:1.将空集的长度定义为零;2.当线段ab包含cd时,ab的长度大于cd的长度;3.当若干条线段有重合时,其总长度小于每条线段长度之和;4.将线段平移,其长度不变.其实,无论线段长度的性质如何,它都需要具有一个基本条件,即线段是连续的,这样的定义方式完全可以应付日常的生活,但是对于数学家来说,可能却过于苛刻.比如在积分研究当中有这样一个函数,在所有有理数点的函数值是1,在所有无理数点的值是0,这叫作Dirichlet函数,它在传统的积分意义下是不可积的,因为任意小区间上的跨度都是1.但假如能够换一个角度考虑问题,在计算长度的时候并非要求连续的线段,也就是说如果一个线段从中抽取掉无穷多个点,其长度仍然可记的话,情况就会发生改变.随之而来的要求有一个新的长度度量方法,使我们可以计算任意点的集合的”长度”,或者”体积”等等,至少也要能够判定其是否可以计量或不可计量,目的就在于扩大可以度量的”长度”的范围.一个新的概念在数学上叫作测度.