我一直在考虑,是从最抽象的角度说明测度的本质还是通过我们熟知的一些概念深入到某种特殊的测度,再上升到一般.记得杨振林曾经说过,中国的学生擅于演绎,美国的学生擅于归纳,言下之意就是中国的学生从特殊归纳到一般的能力不足.既然如此,我不妨遵循一般教科书的顺序,从普遍易于接受的特殊测度讲起(事实上,对于内容简单的实变函数书来说,这已是其测度理论部分的全部内容).

为什么需要测度,这在前一篇中已经有提及,我们曾经提到积分, 提到Dirichlet函数,那么对于一般的函数其又与测度有什么关系?这就要讲到测度的由来,测度正是我们熟悉的面积或体积概念的推广,而积分恰恰是一种面积(严格的说,是函数下方图形面积的上确界).Lebesgue推广Riemann积分到Lebesgue积分,可以说,积分理论的发展是实变函数发展的最本质动力.因此,在这里重申一下测度理论和积分的关系是有必要的.

既然测度是面积或体积概念的推广,那么首先就可以定义区间的测度,一般将区间的测度定义为区间的长度(R),面积(R²)或者体积(R³),更高维数的区间就叫做测度.这从本质上说明了面积和体积这些日常生活概念的一致性,它们恰恰都是不同维数的空间中的测度.如果一个点的集合可以表示成若干个区间,那么其测度自然不难定义,但是对于更一般的点集呢?比如实数轴上所有有理数点的测度?数学家擅长的一种方法就是将未知的问题转化为已知,既然已经有了区间的测度,那么一般点集的测度也通过区间的测度来定义.方法就是,用若干个区间(可能是无穷多)覆盖点集,求这些区间的测度之和,这时候区间就好像尺子,当区间分的越细,对于点集的”测量”就会越精确,稍微思考一下就会得出这样的结论:区间分的越细,其测度的总和就越小,但这个小也是有限度的,有一个下界.这个下界还不能叫测度,数学上叫作外侧度,同样,区间的体积也是外侧度,我会在以后说明区间的测度和外侧度是相等的,这里我们不妨先统一叫做外侧度.

有了外侧度,我们就要考察它的性质,它比原来的体积深入在哪里,外侧度和测度有什么关系,如何从外侧度进行到测度.

外侧度有4个基本性质,以下集合都是指点的集合:

1.空集也就是不包含任何点的集合外侧度是0

2.如果一个集合包含在另一个集合内,即它的点也是另一个集合的点,那么自然它的外侧度小于后者

3.若干个集合(可能是无穷多个)并在一起以后的外侧度小于原先所有集合外侧度的和

这3条和我们熟悉的区间的体积性质没有什么区别,也不难理解,关键是第4点

4. 两个集合,只有当它们之间存在间隙时,外侧度才可以相加.这是一个值得注意的变化,它不同于区间,我们知道只要区间不相交,甚至它们粘在一起,体积也是可以相加的(粘在一起并不难理解,比如(1,2)和[2,3)就是粘在一起,当然这不是一个严格的数学语言,同时要指出这两个区间之间没有间隙哪怕再放下一个点).