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第一集 金字塔下的“神棍”
by ipang on 4月 12, 2007
原文地址：第一集 金字塔下的“神棍”
泰勒斯1是名成功的橄榄油商人，他的贸易范围遍及地中海区域的三分之一，他充分利用爹妈遗传给他的数学头脑，坑蒙拐骗众多的低IQ同行，并由此积累了巨大财富。与其把泰勒斯奉为论证数学的鼻祖，倒不如称他为应用数学的发起人。数学这个工具被他运用得炉火纯青，他所收获的不光是金币那么简单。
有一段时间泰勒斯在工作之余翻阅了一些巴比伦著作。有一本书上记载了某两次日（月）蚀之间隔了18年10天8小时，这令泰勒斯深受“启发”。公元前604年发生过一次广为人知的月蚀，泰勒斯就预言19年后这个天象还会重来，那一天白天将变为夜晚，老乌鸦在天空中成群结队扑棱棱的飞。泰勒斯爱老天爷，老天爷也爱泰勒斯，公元前585年果然发生了日蚀，泰勒斯声名大噪。
这令我想起前段时间在一虎一席谈上扯淡的那位任振球研究员，拿着一张地震局盖章的证明头暴青筋的质问方舟子、司马南为什么讲他的“三星一线”地震预报是伪科学。他一辈子唯一报准的那次跟泰勒斯何其相似，不同的是任组长还有俩伙伴，泰组长就一个人。我们知道不管你用什么方法，遍地撒种广插秧每天瞎蒙也能蒙对一两次，这跟摸彩票是一个理儿，但总不能因此附会上某条科学新理论。
高速乘方计算
比如[tex]x^{256}=(((((((x^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2)^2[/tex]，因此只要做8次乘法就可以完成了。再比如[tex]x^{290}=x^{256}\cdot x^{32}\cdot x^2[/tex]，所以我们只需要在计算[tex]x^{256}[/tex]的过程中保留下[tex]x^{32}[/tex]和[tex]x^2[/tex]的值，最后把它们乘起来就可以了。一般来说，计算[tex]x^k[/tex]只需要做[tex]\log_2k[/tex]次左右的乘法。
“工业水准素数”
费马小定理说，如果p是素数，a和p互素，则[tex]a^{p-1}\equiv 1[/tex](mod p)。如上所述乘方计算是非常快的，所以这给大致判定一个数的素性提供了一个非常方便的方法。如果一个数n满足[tex]a^{n-1}\equiv 1[/tex](mod n)，则称n为“以a为底的拟素数”。
是拟素数而不是素数的数虽然不是很多，但也不算少。特别是，还有一种数叫做卡迈克尔数，这种数不是素数，但是以任意和它互素的一个数为底它都是拟素数。最小的一个卡迈克尔数是561=3*11*17。
e是什么
[tex]e=1+1+1/2!+1/3!+1/4!+\cdots[/tex]
你得承认这个式子很美好。我赞成把这做为e的定义。不仅因为这形式上的美观，还因为这是个收敛很快的级数。如果一个数不是有理数，也不能表示成某个整式的根，那级数几乎是最好的选择。到头来我们最习惯的还是加加减减。而且它还收敛很快。对于这样一个超越数来说，我们能多有效地用有理数去逼近它，简直就是衡量我们对其理解程度的标尺。真的，到现在我还不明白[tex]\pi[/tex]到底是什么，就是因为它没有这样一个美好的式子。
e的无理性
令[tex]S_n=1+1+1/2!+\cdots+1/n![/tex]。[tex]S_n[/tex]可以写成一个分母n!的有理数。它和e的误差是
[tex]\epsilon_n=e-S_n=\frac{1}{(n+1)!}+\frac{1}{(n+2)!}+\cdots[/tex]
[tex]=\frac{1}{n!}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+\cdots)[/tex]
[tex]<\frac{1}{n!}(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{(n+1)^2}+\cdots)=\frac{1}{n!\cdot n}[/tex]
我们就要看到，这误差（相对于[tex]S_n[/tex]的分母来说）是如此之小以至于e不可能是有理数。
事实上，假设有整数p、q使得e是方程qx-p=0的解。把e的近似[tex]S_n[/tex]代入这个方程，易知[tex]qS_n-p=-q\epsilon_n[/tex]。这个等式的左边乘上[tex]S_n[/tex]的分母n!后变成一个整数（我们总可以让这个整数不为0，因为方程qx-p=0只有一个根，而我们有无数个不同的[tex]S_n[/tex]），而右边，[tex]\epsilon_n[/tex]即使再乘上q乘上n!后，仍然是趋于0的。于是矛盾产生了。