BBC四台正在播放一部关于统计学的纪录片《The Joy of Stats》，以有趣的方式解读枯燥数字背后的意义，主持人是瑞典的国际健康学教授Hans Rosling。在纪录片的一个片段中，Rosling在四分钟时间内，利用3D增强现实技术展示了200个国家的200年发展，讲述了世界如何从财富和健康的不均衡走向财富和健康的平衡。

细颗粒物（fine particulate matter，PM2.5），指的是直径小于等于2.5微米的颗粒。这种颗粒可以穿透人体防护直达肺部深处，危害人体健康，引发慢性病，如哮喘、心血管疾病和支气管炎。NASA的两颗卫星绘制出2001-2006年间全球PM2.5浓度鸟瞰图，图中可以看见全球PM2.5污染最严重的在撒哈拉沙漠直到中国沿海一带。via

《华尔街日报》称中国的空气污染没有改善，政府测量空气污染主要是衡量比较大的颗粒PM10。中国东部工业区处于地图上红色程度最深的区域，表明这里的颗粒物浓度是最高的。这对那里的居民来说可不是什么好兆头。而如果你位于这片红色区域的正中心，想要呼吸到新鲜空气就得背井离乡，穿越千山万水了。

科学家利用NASA数据公布了长江三角洲空气污染研究报告（PDF）

江苏全省大多数地区PM2.5浓度超过了55

感谢一位神龙见首不见尾的高人对我上一篇文章的评论。这评论引导我找到了下面这部非常有意思的文档：
《VANISHING SUMS OF ROOTS OF UNITY》 by HW Lenstra, Jr
简单地说，如果要解方程

其中是有理数，是某n次单位根但n可以任意取。
这时我们可以假定n是无平方的，即n可以写成若干个不同素因数之积，并且可以假定素因数的大小不超过k，而本质上不会忽略掉任何的解。
这样一来我们要考虑的可能性就只有有限多个了。
用这个方法可以解决上一篇文章中提出的问题。

求助。问题如下。
定义集合 A = { cos(qπ); q为有理数 }
这里 cos() 是余弦函数，π是圆周率。
定义函数f(a,b,c)=(b-a)/(c-a) 。
现有两个三元组，(a1,b1,c1)与(a2,b2,c2)，
条件是a1<b1<c1, a2<b2<c2,
并且a1,b1,c1,a2,b2,c2都是集合A的元。
问：f(a1,b1,c1)与f(a2,b2,c2)在什么情况下相等？

显然的情况一是当(a1,b1,c1)=(a2,b2,c2)的时候。
二是当b1=b2=0, a1=-c1, a2=-c2的时候。
问题是有没有其他情况？

解这个问题大概会需要一些数论特别是分圆多项式的知识。
我想了两天了，束手无策。
这个问题和下面这个问题密切相关：
正多边形的对角线在什么情况下会三线共点？