由我之前在gezhi里提到的Floquet定理可以得到这样的结果：对于一个T周期的实系统$\dot x=A(t)x$
可以通过2T周期的实变量代换$x=p(t)y$将系统约化成常系数的实系统$\dot x=Bx$
但有的时候，我们需要通过T周期的实变量代换将系统约化。这在理论上是一个比较难的问题，至今没有办法对任意的系统进行这样的操作，我的本科毕业论文是讨论在如下一类情况下，如何做这样的约化。

定理：考虑方程$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x, \varepsilon\in(0,\varepsilon_0), x\in\mathbf R^n$，其中A是n阶实常数矩阵，特征值为$\lambda_1, …, \lambda_n$，$Q(t)$是$\mathbf R^{n\times n}$中的T周期矩阵。假设
(1) 令$Q(t)=F(\omega t)=F(\theta)$，$\omega=\frac{2\pi}{T}$，$F(\theta)$在$D_{\rho}=\{\rho||Im \theta|\leq\rho\}$上解析,
(2) $|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|\neq 0, \forall k\neq 0$，由周期系统的性质，存在正数$\delta$使得$|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|>2\delta, \forall k\neq 0$,
那么，当$\varepsilon_0$充分小且$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$时，实系统$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x$可以通过T周期的实变换约化为实常数系统$\dot y=By$。

可见，在对实的常系数系统做T周期的小扰动时，存在一个T周期实变换将系统约化。这个命题的证明主要是运用了迭代思想，我将在以后大致进行说明，迭代思想在动力系统中非常关键，比如重要的KAM理论。