The Road to Reality的书评

作者：shanqin wang

Penrose新书The Road to Reality是一部罕见的动人心弦的杰作。
The Road to Reality可以作为现代物理的初级教科书。同时是典型的高级科普。里面有大量公式，如果一个公式就能使读者减少一半的话，那大概也是近似公式。至少到最后还留有我们这些死党会看，而按照原来的公式的话，估计只有Penrose一个人当读者了：）

这本书同时是一本引起很大争议的书，很多人认为此书既不适合专业人士（因为太浅了），也不适合大众（因为太深了）。

比如有一个值得特别有争议的地方。那就是，写那么多基础数学是否必要。从实数到复数，到Fourier分析，到实数微积分与复数微积分，我曾经很奇怪为什么他要写这些对初学者艰难而对熟悉者没有必要的内容。比如说，Cauchy公式和围道积分，适应面实在太窄了，因为没有学过的人根本看不懂。而学过的人只要走马观花就可以了。

但是，仔细一想，他这样做是有道理的，那就是保持系统性和条理性，让读者从最简单得实数系统一直深入到微积分与纤维从。虽然这无法作为教科书，但是激起一些读者的学习兴趣却完全可能，没有学过微积分的会为了看懂这些内容而去认真学习微积分，没有学过复分析与Fourier分析的，会继续学这些知识。即使都不想学的，总可以猎奇。但是要延伸到Mandelbrot set就显得没有必要了。如果真要延伸那么多，干脆就直接往下讲“复动力系统”吧。

在这这本书里，Penrose扎实的几何学功底和渊博的数学史知识的完美结合得到了最好的体现，建议大家多注意篇末的notes和部分页面下的脚注。这些知识都是读正文时的极佳辅助，因为它们涉及大量相关知识的背景和历史以及适当的深化。

Penrose深入浅出的写作风格使我们即使读那些已经“熟悉”的数学与物理知识的时候，不会感到是在接受简单的重复，也正是这种深入浅出的讲解，能够让一个不明白什么是affine space（仿射空间）的读者从数学的Euclidean空间出发，抽掉特殊的度量（metric）限制而跨过流形微积分（calculus on manifolds）的门槛。正如Penrose所举出的例子所说的那样：Einstein理论需要由切空间的Lorentzian metric决定的局部结构。但是他还是从最一般的向量场的平行输运讲起，从平行输运可以直接引入协变导数，然后可以直接从这个概念定义微分几何中处于核心地位的概念——曲率（curvature），这就是现代（公理化）微分几何的入门之处。关于这一节的内容让我想起自己读大一时从图书馆的一本译文集里看到的Penrose写的《宇宙的几何学》，篇幅不长，但是极其优美，连里面的示意图都让人赏心悦目，与手上这本书的风格一样。尤其难忘的是他写的关于Lorentzian manifold的一些优美有趣的性质。这么多年过去（那篇文章是上世纪七十年代的作品），Penrose一如既往地优雅从容。

这本书在几何学和广义相对论方面讲得极为出色，确实表现出Penrose本人在这两个方面的精湛技巧和深厚功力。很多书讲广义相对论要么从局部观点（坐标观点）讲，要么从整体观点（映射观点）出发，但是这本书兼顾了两种方法，并且在一定程度上融合了两种方法的优点。

但是并非在所有章节都能有这种引人入胜的效果，例如他讲的刚体的confuguration space，在我看来比代数几何中的模空间理论还让人难以理解。所幸的是，这样让人犯晕的章节不是很多。

Penrose是一个极其出色的广义相对论和几何学专家。因此我们要认真看看他是怎样写时空几何与广义相对论的。

广义相对论方面，Penrose无疑着墨太少，虽然前面关于时空性质与Minkowski空间几何学方面写得很精彩（很快我就会专门评述这两章，现在先悬着），但是在Einstein场方程方面延伸太少，这与他本人在相对论中的巨大贡献不成比例。在场方程之后，他讨论了引力辐射以及广义相对论的三个经典实验“验证”，都是很一般的。反倒是他本人研究的关于时空的大范围结构以及著名的奇点定理几乎没有涉及。
前面说过，他这本书兼顾了局部方式和整体方式，但是所说的整体方式是指微分几何中用映射观点理解张量，而不是指时空拓扑方面的研究。毫无疑问的是，Penrose在时空拓扑方面的研究不仅具有原创性而且在经典广义相对论中极其重要，而与他本人有关的拟正交标架的一系列简化符号和Newman-Penrose方程也是极为著名的。

Newman-Penrose标架（复类光标架的一种）在相对论研究中有着非常重要的地位，大大简化了运算过程。（类时旋转，类空旋转，类光旋转，倒换的变换关系可以通过Newman-Penrose的记号得到有效简化）
将Einstein方程写成旋量形式，将Weyl张量用Einstein方程改写后写成旋量形式，这时采用Newman-Penrose的记号就显得非常自然而且简洁。得出得18个方程称为Newman-Penrose方程。
这些都和Weyl张量的研究紧密相关。从分析学上分析，要涉及到扩充复平面上（共形等价Riemann球以及一维复射影空间）的四个点的重合情况，只要搞定齐次坐标就可以了。

Penrose图可以很简明得给出Weyl旋量的分类，Ⅰ型，Ⅱ型、Ⅲ型、D型、N型、O型（退化型）
这些精彩的课题他在文中不提，反倒写了许多教科书都讲滥的几个实验验证，是令人不解的。何况写实验验证方面，有Weinberg的大部头在前，Penrose显然无法在这方面写得更出采。
比较令人赏心悦目的是，Penrose在这一章中对带宇宙学常数的Einstein场方程和Ricci平坦性进行了简略阐述，并且分析了Weyl曲率张量，这些都是很优美的例子。

Weyl张量只在4维以及4维以上空间中才有非零值。而且如果时空的Weyl张量有类时主特征向量，则没有引力辐射，比如Schwarzschild时空就是这种情况。广义相对论中的Birkhoff定理也是这种情况。对于Birkhoff定理，只要知道作径向震荡的星体的引力场外部解与静态球对称引力场的Schwarzschild外部解一样就可以了,这样Birkhoff定理在几何上就比较直观了. 1963年Petrov第一个指出Birkhoff定理中有漏洞。
Petrov最初是为了分类真空引力场的Riemann曲率张量，但是这不如直接分类Weyl张量。（etrov的分类是把（2，2）张量排列成6×6方阵，而以SO(1，3)的变换下分类再化之为Jordan标准型。）

在现代广义相对论的研究中，共形紧致Einstein空间也是非常重要的研究对象，这也使得Weyl张量的研究在广义相对论的研究中占有越来越重要的位置。

在相对论这一章的最后，Penrose讨论了宇宙总质量的“正性”问题，虽然没有在正文中提及具体的证明。但是我凭直觉认为后面的notes会多写一些这方面的东西，果然，在最后一个note里发现了基本的文献列举，第一个就是Schoen和Yau的两篇著名论文，然后是Witten，Nester，Parker与Taubes等人，几乎把Schoen和Yau的出色成果之后跟着做这个课题改造与收尾工作的名家都列举进去了。可惜的是没有举出这些作者所写的文献名，无疑给部分想看原始文献的读者带来遗憾。

另外，很多时空几何学家倾向于认为宇宙具有一个使标量曲率非负的度规，在一些必要的假设下，Schoen和Yau证明了这样的度规总是存在的，他们还证明了这种流形的基本群不包含同构于亏格大于或者等于一的紧致曲面基本群的子群（subgroup）。这些漂亮的结果使得对三维的非负标量曲率的流形的分类也显得非常有趣和重要。同时，分类具有正的标量曲率的4维紧致Einstein流形、分类具有负的Ricci曲率的4维紧致Einstein流形，以及研究渐近双曲Einstein流形等等，都是几何学中的重要课题。Schoen和Yau，以及M.Anderson等人在这些课题上分别做出非常漂亮的工作。（本段所述的这些课题以及相关课题参阅了Schoen和Yau的名著《微分几何讲义》中的问题集，有兴趣读原始文献的读者可以在新版的282页及其前后页数找到这些重要问题的表述以及进一步文献）。

正如许多高能物理学家指出的那样，这本书在关于高能物理的很多地方有纰漏，这和Penrose的学术方向有巨大关系，毕竟一个相对论和几何专家，而不是粒子物理专家，大概是由于他本人信仰的是twistor，对超弦之类的，并不很感兴趣，说到twistor这个概念，我想起gaue兄曾经发的一篇文章《数学分支的半衰期》，特意说到twistor，认为这是一个一直很冷僻的课题。我想Penrose或许更多是从“美”的角度而未必从“真”的角度看待自己的理论。现代物理的很多数学工具其实和twistor看上去是同病相怜的。例如超弦中处于核心地位的Calabi-Yau空间，在数学上可以满足种种要求，但是未必是现实存在的真实（卷缩）空间，只要宇宙学常数不为零，超弦理论就面临巨大的困难。（注：sage兄曾经提醒作者，宇宙常数问题不仅是弦论面临的问题，而且是所有物理分支面临的问题，特此致谢）但是与twistor理论不同的是，Calabi-Yau空间的研究一直长盛不衰，半衰期还没有到，而twistor，一直“半衰”着。

twistor很优美，但是我们无法说出它的下一步是什么，它是复几何，但是没有Kahler几何相关的课题那么重要，也因此无法和Calabi-Yau空间（Ricci曲率为零的Kahler-Einstein空间）相比。这就使得这个Penrose最爱的理论一直处于尴尬的位置，Calabi-Yau空间的研究就算无法在物理上实现，也至少可以当数学研究对象，事实上它就是数学研究的产物，尽管我们无法否认“常Ricci曲率”这个重要概念是由（带宇宙学常数的）广义相对论真空场方程的刺激而产生的，但是大量的具体研究毕竟是从几何出发的，联系到Kahler几何，就更是一个复代数几何问题了。
种种原因造成了Twistor理论研究的青黄不接。也客观上使Penrose不去尝试其他更好的探究终极理论的途径。

因此大家看这本书的高能物理的相关部分时，不要迷信书中的一些结论，尤其是被一些人称作“original”的结论，因为在高能物理中，已经定型的理论中，“original”的东西往往不可靠。

在The Road to Reality中，外积(wedge product)与外微分方面讲得很详细。Omni兄上次的文章特意提到这个问题，这里就不重复了。
我们简要说说这些工具的重要性。
最明显的是在曲面论和子流形理论（曲面就是三维空间的子二维子流形，但是不是所有曲面都可以嵌入三维Euclidean空间，比如Poincace上半平面）中结合外微分和正交标架，Gauss-Codazzi方程的形式将得到极大的简化。结合活动标架法，就可以发挥极大的威力。活动标架法是从刚体运动学中发展出来的，以时间为参数的单参数形式被Daboux和Cotten推广到多参数运动群形式。然后Cartan把活动标架法从运动群推广到任意Lie群，大大促进了微分几何的发展。

Penrose用Cartan引入的外微分进行了大量细致的讨论。由于引入微分形式就可以定义外导数，统一区域积分与区域边界积分的各种公式，归于广义的Stokes定理。
在文中，Penrose还介绍极其重要的Poincare引理，对于局部区域，事实上，Poincare引理及其逆都是成立的，即任何闭形式的外微分都为零，外微分为零的形式总可以表示为一个闭形式。但是在整体方面，就要用到de Rham定理，定义链的积分才可以得出肯定结果（链上积分为零才可以）。链上的积分配合广义Stokes公式就可以直接架起微积分到上同调理论的桥梁，正如我们所知道的，链（chain）以及链群等概念都是Poincare本人在其创立组合拓扑时的杰作，因此，Poincare引理以及Poincare关于拓扑学的一系列重要的奠基性工作是是著名的de Rham理论的起源之一。de Rham上同调群正是用“闭形式”模去“恰当形式”得到的“商群”，从局部的微分形式，研究流形的整体拓扑，微分形式也因此直接扎根示性类理论。当然，Penrose没有讲到这些，只是到Poincare引理的表述为止，并且布置了一道很简单的相关证明题。

Penrose关于纤维丛的详细也极其可读。首先Penrose直接从古典微分几何的联络开始讲，延伸到内部空间的讨论（从K-K理论到弦理论），顺利引出“丛”的概念。从平凡丛到“扭曲丛”（非平凡丛），一路上并无波澜，因为Mobius带对于许多人无疑是太过熟悉了。接下来关于Clifford丛的内容讲得大快人心，尤其是著名的Hopf纤维化。
Penrose从双变元复空间讲起，定义其中的单位球。
以S^2为底空间，S^1为纤维，构成的纤维丛为S^3。
以S^4为底空间，S^3为纤维，构成的纤维丛为S^7。
以S^8为底空间，S^7为纤维，构成的纤维丛为S^15。
但是不能类推到任意维数的球。

接着Penrose详细分析了为什么Clifford丛没有连续截面。
从Clifford丛到复矢量从，没有想到却是以射影空间为后续。射影几何是现代数学中出了名的鸡肋——食之无味，弃之可惜。经过短暂繁荣后，射影几何早就在一百多年前彻底冷了。正如Mumford所说射影几何是个垃圾袋，只有一个宝石，就是“27条直线”定理。似乎学习这个分支的唯一必要性就是为了掌握代数几何中的一些基本概念，当然远不是全部代数几何的全部概念。虽然我们知道一维复射影直线可以同构与Riemann球以及扩充复平面，但是这里应用到的射影几何知识是很基本的。

熬过乏味的射影几何，我们又可以欣赏他关于纤维丛联络的非平凡性与丛的曲率得讨论了。由于现代微分几何讨论的曲率是以切空间为基础的切丛联络的曲率，所以从这一点看，跳到丛的曲率讨论是没有太大的概念障碍的。正如我们所知道的，规范联络和规范势对应，曲率与场强对应，因此这些知识都是以后学习规范场论的重要概念。