上个学期快结束的时候，和我的两个朋友小龙以及B讨论了这么一个数学问题：给定一个数，如果是偶数就除二，如果是奇数就乘三加一，然后继续这个步骤。一直重复这个步骤，那么试证明经过有限次以后，这个数列一定收敛到一，且进入4、2、1的循环中。
　　比如15，按照约定，应该乘三加一的，所以就得到了46，然后46是偶数，应该除二的，得到23。从而最后得到的数列是：15、46、23、70、35、106、53、160、80、40、20、10、5、16、8、4、2、1、4、2、1、4、2、1……
　　当时我们讨论了很长时间，最后B提出说能不能看看在一个数的世界线上奇数和偶数出现的次数的比。因为偶数对应了除二，奇数对应了乘三（加一对一个大数来说其对大小的影响可以忽略）。由于这里是脱离了具体的数的概率化的值，所以我和B假设一个偶数除二后得到偶数和奇数的概率是一半对一半。而按照规律，一个奇数的后一个必然是偶数，因而最后得到经过足够多次操作以后，偶数和奇数的比（统计化的）应该是2：1。当然了，这个是从世界线的角度来看的。从一次操作来看，任意一个数经过依次操作以后得到的偶数和奇数的比是3：1。后一点说明的是：似乎对于任意一个数来说，其经过两次操作以后缩小的可能性比增大的可能性大了三倍。当然，这个结论并没有什么重要的意义。但是前者的意义就比较巨大了：任意一个数的世界线（不管是否是否收敛到4、2、1循环）中，除二操作出现的概率比乘三操作出现的概率高了一倍。这就意味着如果世界线上累积进行乘了3^n，那么从概率上说它必然会面临着被除4^n的命运。也就是说，任意一个数的世界线从概率上说是总是缩小的，因为3/4<1。这里不排除中途变大的可能，但是整体来说必然缩小。这个结果非常鼓舞人心。我和B又用了把原来世界线方法的方法找到了一个临界乘数。也就是说，如果一个数是奇数，我们要进行的操作是：A(n+1)=A(n)*a+b。其中a就是乘数，b是加数。而在遇到偶数就除二这个条件下，a的最大值，应该是4。而由于对除二来说，乘4是一个很没意义的做法，所以唯一可以构成有意义循环的乘数只可能是3。此后，我们用小龙的程序验证了当a=5的时候的情况，情况是：偶尔收敛，大部分发散。对7也是如此。即使我们把加数b设成一个很大的负数，只要a大于4了，就必然是“整体发散”的（也就是偶尔几个数收敛）。这个结果对我们所使用的方法是一个非常大的利好消息。我们甚至证明了，当遇到奇数乘一个半整数的情况下，这个半整数不能大于2，因而只可能是1.5。后来在程序上，在所计算的数值范围中验证了我们的想法（后来我把程序用VB重写并进行了改进，验证了1到1000都满足我和B所提出的这条规律）。 　　这个模型的威力非常巨大，因为它还提供了这么一个“构造”规则的规则：如果一个数被N除余0，那么就除N；如果不余0，余n，那么就进行A(m+1)=A(m)*an+bn的操作，这时，就可以根据规则计算出余0和不余0的比例，从而来得到所有这些an的上限。 　　之后我们就散伙了。我回到寝室以后用VB重写了我们所用的程序，并且增加了一些功能。用这个程序我观察到了不少新的东西。 　　我用程序验证了，除数N决定了乘数an的上限，乘数an决定了任意数的世界线收敛的速度，而加数bn则决定了最终吸引子（也就是循环数列）的结构。对于N=2，a=3的情况，用程序严整了两个特点： 1，如果b=3^m（m为非负整数），那么吸引子唯一，为4b，2b，b； 2，不管b为多少，总存在一个吸引子为4b，2b，b，其作用域为初始值为b的整数倍的数。 　　当然，还有很多别的性质我们无法解释。比如对于b=17的情况，其吸引子有四种，其中一条长达69位……而很多长吸引子，在从1到500的模拟中出现的概率最高。对上面的第二条性质也存在一定的问题，比如当a=21的时候，在7的倍数上世界线的吸引子就是4b，2b，b，而不单单是21的倍数。显然，其中还有很多我们还不知道的东西存在。 　　对于吸引子的计算，我在上课的时候倒是提出了一个计算方法，但是却无法解释为什么有些吸引子是唯一的，有些则不唯一。更加无法说明初始数对吸引子的选择满足什么规律。