分形、观察者与“尺度相对论”

by jake on 十一月 16, 2008

昨天我们实体俱乐部做了一个关于分形的研讨,这促使我对分形理论的理解更深一层次,我们看到,其实分形就是一个讨论观察者问题的领域,从传统分形理论延展开,我得到了下面一些有意思的认识:

1、自相似、尺度不变性与观察者

说起分形,大家都会想到自相似和那些漂亮的图形。但究竟什么是自相似性?它的深刻内涵是什么?我觉得通过昨天的讲解,使我自己更明白了一个道理(挺奇怪,看起来是我给大家讲,但其实是我给我自己讲呢,这也是讲一个主题的好处),这就是所谓的尺度(或叫作标度)不变性(英文就叫做Scale-free)。
标度不变性解释起来也很简单,就是说无论你从哪个尺度看,系统都是一样的,最好的例子就是给大家看到的海岸线,如:
http://maps.google.com/?ie=UTF8&om=1&z=8&ll=24.011344,117.833862&spn=2.664214,4.454956&t=h

http://maps.google.com/?ie=UTF8&om=1&z=8&ll=24.011344,117.833862&spn=2.664214,4.454956&t=h

http://maps.google.com/?ie=UTF8&om=1&z=8&ll=24.011344,117.833862&spn=2.664214,4.454956&t=h

这三张图是分别从三个完全不同的尺度(也就是比例)来观察我国南海的海岸线,你会发现,如果没有地名标注的话,你无法分辨你是处于哪一个比例来看。

尺度不变性换一种解释也就是说:分形系统将能迷惑一个观察者,使得这个观察者不能分辨出自己是处于什么尺度之上的。换句话说,假如我们生活在一个分形世界里面,我们其实跟生活在分子、星系层面的观察者没有任何区别,也就是说我们并不是处于一种中心地位的。

我们还可以从观测精度角度来重新看待尺度的意味,即你观察一个系统越精细,也就意味着你的观察尺度越小。我们通常的理解是,对一个事物观察越仔细,你获得的信息越多,也就是你对该系统越熟悉,看起来好像越好。但按照分形的观点,因为不同的观察粗细程度会导致完全相似的结果,所以其实原则上讲,观察事物的粗细并不能给你更多的信息,也不会让你能更好的掌握系统。这就导出了一个系统科学非常重要的思想:粗粒化,也就是站在更大的程度看问题,比如你站在社会角度看问题,就一定要忽略个体信息,你才可能得到好的结论。

2、为什么有那么多幂律?
幂律即Power law是系统科学中一个常见的现象。经济学财富分布满足Pareto Power law tail分布,语言中有词频的幂律分布,城市规模和数量满足幂律分布,音乐中有f分之1噪音(幂律分布)……。通常人们理解幂律分布就是所谓的马太效应,即少数人聚集了大量的财富,而大多数人的财富数量都很小,因为胜者通吃的原则。

但是这种认识比较肤浅,因为即使说承认了马太效应,也仍然无法解释为什么像语言、音乐之类的表面上非常不同的领域都会出现幂律分布。

这个问题也许换个视角就能得到统一解释了,这就是我热衷的观察者视角。也就是说所有这些看起来不同的复杂系统对于观察者来说都是相似的,所以它们都有共同的幂律分布。

站在分形的角度,我们考察一个系统其实就是拿着一种抽象的尺子去测量观察这个系统。比如说,对于社会系统,我们会用财富这把尺子来测量整个社会。牵扯到了测量的问题,就有了测量的精度,这就是不同的财富数值。比如,你用100万作为一把很粗的尺子,这样的话,大部分的人就被这把尺子过滤掉了,而剩下了少数几个百万富翁。然后,你有提高了精度,你用1万元的尺子来测,你就会得到万元户,这个数量显然更大了,你还会变化不同的尺子测下去,最终你把不同的财富尺度和测得的相对人口画到双对数坐标下,就得到了一条漂亮的直线,这其实跟测量海岸线的过程是一样的。在这里,不同的尺子就是财富,而海岸线的长度就是在这种财富下的相对人口数。

财富分布的幂律也就意味着财富上面的无标度性,即你站在什么尺度看其实都是差不多。所以,富人并不比穷人更幸福,无论你站在哪个尺度看,你都面临类似的问题,你会去挣钱、花钱,你会规划未来……。烦恼是一样多的。

所以,我理解,要想彻底统一地解决为什么有那么多的幂律分布问题,需要我们站在观察者的视角看问题。在《组成论》一书中,http://zxw.idm.cn/ZCL/zclmulu.htm, 张学文老先生曾经用最大熵方法导出了幂律分布(见http://zxw.idm.cn/ZCL/part3/C17b.htm)。这套方法是我看到的解释幂律分布最简洁的一种方法,只可惜,作者并没有给出他这种方法的合理解释。很多人看来,这不过是一种数学技巧,而无物理内涵。但我觉得这恰恰可能是从观察者角度揭示幂律分布的切入点,因为最大化熵方法按照E.T. Jaynes的解释就是一种主观的方法,即最大化观察者对客观系统的无知性。

3、分形理论的未来
昨天完全没有讲到我对分形理论未来的看法。对于系统科学的专业人士来说,我认为分形理论和玻尔兹曼的统计物理一样被很多人忽略了。很多专业人士瞧不起分形就是因为这里面看起来除了漂亮的图形就没有更深层次的东西了。但其实,从尺度不变性的角度来看,这里面太有文章可做了。传统的分形仅仅研究的是可视化的平面图形的尺度不变性,但当我们把财富空间、特征空间等等看作抽象的空间的时候,我们就得到了更丰富的尺度不变性和幂律分布。更一般的,如果把时间考虑进去,尺度不变性意味着更深层次的内容。

比如最近我非常感兴趣的代谢生态学中的一些发现:物种的新陈代谢和物种的大小呈现3/4幂律关系,更深层次讲,这是一种流动和存储之间的漂亮关系。流动就意味着变化和时间,而存储意味着静止和空间。所以要想对这个3/4律作出完美的解释,必然要考虑时间和空间上共同的尺度不变性。

谈到时间和空间,让我们想起了什么?没错!相对论!!!看看当年爱因斯坦创立相对论的时候跟我们现在的处境多么相似!当年他发现这个原理的两个前提假设就是:1、相对性原理;2、光速不变原理。这两个原理合起来就是无论对于处于运动还是静止的观察者来讲,他们应该得到完全一样的物理规律。这其实跟我们的尺度不变性多么相似啊!即无论对于哪一个尺度来说,观察者应该得到相似的结论!爱因斯坦从这两个原理出发,更改了我们对时空的认识,也许从尺度不变性出发,我们完全可能得到一种全新的时空理论,这套理论将自然导出各种幂律关系以及生物体的规模、寿命等等这些玩意儿。也许我们应该给这套崭新的理论一个新的名字,“尺度相对论”,尽管她还没出生呢。

Leave your comment

Required.

Required. Not published.

If you have one.