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谁偷吃了一块？

这篇文章是几天前写的《分蛋糕是极其复杂的》的扩充，最近实在没空码太多字，本文也只是寥寥而作。
在数学社会学，尤其是博弈论中，Envy-free（翻译过来大概就是“没有嫉妒”或“心满意足”？）是专门指如何给N位满腹心事各怀鬼胎的人分东西，比如蛋糕、糖果，如何让每个人都感到心满意足。大概我们这些从小受孔融让梨（人家是成功人士，虽被“恶人”曹操杀了，但好歹是励志故事），尊老爱幼教育的人不以为然，但每当看到别人拿走自己眼里的“大块”蛋糕（或肉、鱼、鸡腿），是否心理会隐隐感到不快，也就是嫉妒？然后说不定还藏在心底，该天再报复一下：-）很多时候公平是能让问题消于无形。


分蛋糕或公平分配问题最早是Steinhaus于1948年提出的，1980 年费城Swarthmore学院的Walter Stromquist证明存在一个Envy-free解。换句话说，一块蛋糕切N-1次分给N个人，让每个人都满意是可能的。N=2和N=3的情况比较简单（其实N=3已经相当繁琐了），1992年Steven Brams和Alan Taylor证明了N>3的情况，但算法过于复杂，他们为此特地写了一本书来剖析如何公平的分蛋糕。最近香港城市大学的Xiaotie Deng和同事提出了一种更高效分蛋糕算法，算法的计算可在多项式时间内完成。但唯一令人遗憾的问题是算法适用范围是N=3，另外的一些特例只能得到近似的Envy-free解。