直观和逻辑

直观是绝对必要的。在考虑用人工智能进行数学推理的时候大家往往只注重逻辑，我想这是电脑还没学会数学的主要原因。我并不认为直观是人独有的能力。电脑也可以有直观，只要你好好编程。（不过这好象和数学没有什么关系。）

人的缺点是，往往会轻易相信自己的直观。当严密的逻辑推理导出了比如说关于无穷大的种种所谓“不可思议”的性质时，人们往往会怀疑逻辑出了问题——逻辑，这个行事绝不光明正大的诡辩家，不知道在什么地方偷偷做了什么手脚，然后就把人给骗了。比如说就在那个反证法里。——但这往往是不对的。如果你无法接受一个由严密的逻辑推理得到的结论，通常是因为你的直观出了毛病。比如说初学者往往把无穷大想象成“一个很大很大的数”，这在很多时候有效，但也会出很多毛病。而如果想象成“一个越来越大的数”，情况就会好的多。请发挥你的想象力。

数学的特征

说到数学，我总是喜欢举两个问题作为例子。

第一个问题是，一杯水和一杯酒，体积相同。舀一勺水到酒里，搅拌一下，再舀一勺（掺了水的）酒到水里。现在问是酒里的水多还是水里的酒多？
答案是一样多。不管一勺有多大，也不管有没有搅匀。这是因为这两杯东西在开始和最后的体积都是相同的，所以说有多少水跑到了酒里，就有多少酒跑到了水里去填补失去的水留下的空位。

第二个问题是，甲和乙分别从A和B出发相向而行。第一次相遇时甲走了40米，然后两人继续各自前进，走到对方的出发点后再折回，第二次相遇时甲离开B点20米。假定甲乙行走的速率不变，不考虑转身的时间。问两次相遇的地方相距多远？
答案是40米。这是因为从第一次相遇后到第二次相遇，甲和乙分别走的路程，是他们从开始到第一次相遇时所各自走的路程的两倍（从开始到第一次相遇，甲和乙一起把AB间的路覆盖了一次；而从第一次相遇到第二次相遇，甲和乙一起把AB间的路覆盖了两次）。所以特别地，从第一次相遇后到第二次相遇时甲又走了80米。而这时他离B点20米，所以显然第二次相遇点在第一次相遇点的靠近B点方向的40米处。

这两个问题的共同点是似乎都缺失了一些条件。在第一个问题中，我们不知道两杯液体的体积是多少，也不知道勺子的容积是多少，更不知道是否搅匀。我想这些都是我们在想象这个转移液体的过程时觉得需要知道的条件。同样，在第二个问题中我们不知道AB间的距离也不知道甲和乙的速率。在想象这个相遇过程时，我想这些应该是我们觉得首先要知道的东西吧。当然，你可以把你觉得应该知道的东西设成x、y之类，然后用我们强有力的代数手法去精密地分析各个量之间的关系，然后得出答案。但是得出答案并不等于真正的理解。接下来你要做的是在那一堆代数等式的迷团中，抓出之所以会有这个答案的本质上的原因，也就是上两段中我所叙述的。当然更好的情况是一下子就想到上两段那样的解答，根本不借助代数。总之，数学需要考虑的不是一个对象的一个过程，而是一类对象的一类过程，要在一堆虽然很不相同但到底有些类似的东西中抓到本质。这是数学得以区别于算术的所在。在前一篇文章讲等价关系的时候也提到过，数学中讨论的对象往往是抽象的等价类。我们作直观想象的时候只能把具体的对象浮现于脑际，这时你要么把等价的那些具体的对象同时浮想出来，要么时刻牢记，这个就是那个，白马和黑马都是马。当然，关于具体的东西的精密的分析手段也是绝对必要的，在复杂的问题上，几乎没有人能够一下子就抓住问题的本质。几乎所有重要的概念都是从关于一个个具体的例子的具体的知识储备中升华出来的，而有了这些概念以后那一个个的具体的例子往往都变成显然的了。就像上面的这两个问题，明白了以后会觉得这是多么浅显道理啊！这也是为什么每一代新生的数学家都能在短时间内掌握前辈们在几百年一千年的时间里储备下来的数学知识，而且在此基础上又有新的创造的原因。

数学的方法

在我看来，数学最根本的方法莫过于类比。用我们容易想象的、充分理解的东西去类比不那么容易理解的东西。这个过程分为几个方面。

首先对于我们很了解的东西，我们需要做的是抽出“这东西之所以成为这样的根本原因”，这就是公理化。把那许许多多性质之所以成立的根本原因归结于几条公理，然后在其他我们不甚了解的对象身上发现满足这几条公理的“结构”。举一个例子。我们很熟悉有理数。我们知道有理系数的多项式可以唯一地因式分解。然后我们抽出这其中的原因是因为有理数是一个“域”。后来我们发现，对于素数p，整数除以p的同余等价类也作成了一个域。而在这个域上，显然 1, 2, 3, … , p – 1（的等价类）都满足方程 x^{p -1} – 1 = 0。于是按照有理系数的多项式的类比，我们得出在这个域上有
x^{p – 1} – 1= ( x – 1 ) ( x – 2 ) … ( x – p + 1 )
比较左右两边的常数项，我们得出结论， ( p – 1 ) ! （ p – 1 的阶乘）与 -1 是除以 p 同余等价的。或者换种说法，当 p 是素数的时候， ( p – 1 ) ! + 1 被 p 整除。这就是著名的Wilson定理。也许你曾经见到过用初等数论的方法给出的这个定理的一个很有技巧性的证明，但在这里我们得到它只是用了一件显然的事和一个类比。

在上个世纪，公理化的工作是如此的成功以至于我们几乎把几千年来人类储蓄下的几乎所有数学知识都归结到了几种基本的“结构”上。现在，任何一个经过训练的数学专业的学生，无论他在应用中碰到什么问题，几乎都可以立刻把它归结到一个关于我们已知的某种结构的性质的问题上面来。

公理化完成之后，类比的方法再细分大概可以大致区别为两种：一曰“近似”，二曰“表现”。近似当然是“用离它很近的东西来类比它”，可以说整个数学分析领域贯穿的都是近似的思想。用有限近似无限，用线形近似非线性，用光滑近似不光滑。等等等等。表现，意思是“用我们容易理解的东西来表现我们不容易理解的东西”。（不可交换的）群是不容易理解的，所以有表现论研究怎样把群的元对应到我们比较容易理解的矩阵。连续的几何对象通常是不容易理解的，所以有代数拓扑把几何对象对应到我们比较容易掌握的加群。各种大大小小的同构、同态、同胚、同伦、同调、同位映射更是充斥了数学的各个角落，这些简单的说就是把一个对象保持它的某些结构不变地映射到另一个对象来考虑，或者说用另一个对象来“表现”这个对象。

我举两个例子。我个人认为这两个例子非常精彩，非常好地说明了什么叫做“把不容易理解的东西化成容易理解的东西”。

第一个例子是这样的：一个大圆B套着一个小圆A。我们在A和B之间作圆，要求圆1和A、B相切，圆2和A、B、1相切，圆3和A、B、2相切，依此类推。（图一）这样一直作下去，假设绕了一圈之后回来，圆n正好和A、B、n-1都相切。问题是：假设我们在一开始的时候选择一个不同的位置作圆1（图中红色的圆1），然后依次作下去，这样在绕一圈回来之后最后的那个圆是否仍然能够正好和圆1相切？如果是，那A、B间圆的个数是否仍然正好等于n？
这两个问题的答案都是肯定的。很奇妙吧。但是对于一种特殊情形，A和B是同心圆的情况下，（图二）这件事完全是显然的。那我们有办法把图一的情形化到图二的情形吗？有。我们把平面看成是复数平面，考虑复平面上的一次变换 z |→ ( az + b ) / ( cz + d )。众所周知，这变换把圆映成圆，并且是保角的，所以当然保持相切关系不变。另一方面只要稍做计算就会知道，对于任意两个套着的圆，这变换总可以把它们映成是同心的。于是我们就借助这变换的力量，把奇妙的事化成了显然的事。眼睛一眨，老母鸡变鸭。

第二个例子。过圆外一点P，求作这个圆的切线。这个问题的解法大概在任何一种初中几何教科书里都会介绍，但这里描述的是一种（按照初中几何的标准来说）“非标准的”、只使用直尺就可以完成的作法。如图三，过P随便作两条直线交圆于A、B、C、D。AD与BC交于E，AC与BD交于F。然后连接EF交圆于R、S，则PR与PS就是圆的切线。
如果你多画几次，一定会感觉到这件事中间隐藏着什么重大的秘密。那些点神秘地排列在同一条直线上。我们有办法理解它吗？如果你知道一点射影几何，这件事就容易说明的多了。
假设点P是在无穷远的地方。这时过点P的所有直线是一组（朝着某一个方向的）平行线。于是我们看到这件事在一瞬间变得显然了。（图四）

用射影变换，我们可以把图三的情形化成图四的情形。射影变换把直线映成直线，交点映成交点。相切于一点既然是相交于两点的极限情形，射影变换当然也保持相切关系不变。另一方面射影变换虽然不一定把圆映成圆（一般地来说它把圆映成圆锥曲线），但在这个问题中，我们有办法既把点P映成无穷远点，又把那个圆仍然映成圆。（图五）
这样一来我们就又把一件神秘的事化成了一件显然的事。但是——我们真的理解了这些事了吗？诚然对于特殊情形来说它们简单得令人发笑；也诚然我们确实知道有变换把一般情形化成特殊情形；但是这变换岂不是很奇妙吗？现在神秘性从一般的情形转到了这个变换上。为什么会有这个变换？为什么就偏偏正好就在这件神秘的事上有这个神秘的变换呢？我只能说这两个变换并不是那么神秘。一个是复一维射影空间上的一次变换，一个是实二维射影空间上的一次变换，两者都是非常朴素、自然的东西。但是……确实这两件事着实可以让我们的直觉吃上一惊。而我想我们目前为止对这两件事所能作的最好的解释莫过于此了。我们总是用一件事去解释另几件事。——古人认为我们的世界是被驮在一只大乌龟的背上，至于大乌龟又站在什么上面就是另一回事了——如果你追求不懈，坚持要刨根问底，很容易就会陷入哲学的迷思。我想古希腊人就是这样被五个正多面体迷得神魂颠倒的——为什么正好是五个呢？柏拉图在《Timaios》中主张说，正四面体=火，正六面体=土，正八面体=空气，正二十面体=水，而关于正十二面体则记叙说：然而还有一个第五构成体的存在；这是神为了包含万物的目的，在上面画着各种各样的绘图时所使用的。（所以说古希腊人还是不够聪明。你看我们的老祖宗早就在说阴阳五行了……）问题在于，你永远不可能从自己先天的直觉或上帝的启示（我们假定有这种东西）中得到问题的解答，因为先天的直觉本来就不完美，而上帝又是太完美了所以觉得根本没必要解释。能够美妙地解释已知事物的，只有新发现的事物。我们所能做的只有到广大的未知中去探索发现，或者偶尔回眸一瞥。物理学家们或许会渴望找到可以解释万物的终极理论，但是数学，为了追求更广的视角和更深的理解，永远不会停止。