数学的误区

lwing — Mon, 26 May 2008 00:29:55 -0700

由于地震，很多人在谈论地震的预测，于是很多专业人士就拿最典型的蝴蝶效应来说事，表面上看，似乎是把客观世界的随机性冠上很科学的理由，甚至有人还写出了微分方程式由大家自己来求解。意思只有一个，哪怕一丁点的初始误差就会导致结果的巨大差异，而误差又是不可避免的，所以结果就是不可测的。其实这是一个很大的误区，虽然非线性的确存在，但是既然是微小的误差，那么误差的存在是普遍的，它的数量也是巨大的，各种误差产生的效果就在很大程度上相互抵消了，真正的结果不可能只受一个条件的误差影响，所以，结果并不会像计算结果那样出奇！一个最简单的例子就是弹簧的胡克定律，虽然影响弹性的因素很多，但是在宏观上看，在一定范围内，弹簧符合简单的线性关系。这就是那么多蝴蝶的翅膀煽动并不会引发风暴的原因！

数学的误区除了非线性以外，概率也是很有迷惑性的。比如我们往往把某一事件通过概率运算，得出结果的概率非常的小，从而排除了可能性。而事实上类似的情况发生的概率却大得多！为什么？假设我要寄一封没有地址的信到美国哈佛的某个同学，按概率计算是不可能的。但是，现实的情况是，如果那封信是我亲自交给某人请他转交给我的同学，事实上就明确了收信人是我的同学，我的同学从小学到大学也就1-2百人；如果那个转交的人是在美国，就隐喻我要交给美国的同学，那范围已经缩小到十几人了；如果我稍微透露那是一封情书，那么在美国我的女同学只有三个。。。。所以，在信息的引导下，加上人类智能的处理，可以极大地减少随机性，从而大大提高事件发生的概率！

还有一个误区是，数学的复杂性并不代表现实的复杂性，我们经常听说一盘象棋所有的可能性遍历完需要多少时间；某某微分方程是不可求解的；最典型的是爱迪生要助手计算灯泡的体积，他用微积分来计算花了很长时间也没有搞定，老爱说灌满水倒出来量一下不就好了吗？事实上在大自然充满了这些现象，我们很难去计算，甚至也找不到数学模型，但是他们确是简单而实在的存在着——水就是沿着那样的路径流动，光线就是那样走着最省时的路。。。

出现这种误区，是由数学的特点决定的，数学原则上是心灵的规则，它有超时空的特性，也有理想化的可能，这一方便于分析复杂现象背后的基本规律，同时也过分强化了被关注因素的重要性，而现实的世界却是普遍联系和制约的，真正的结果是全部因素的积分！

N连胜的数学模型

同人于野 — Thu, 13 Mar 2008 16:45:07 -0700

火箭目前已经20连胜位列西部第二，也许只有星期一的湖人才有可能阻止他们。连胜在一个成熟的联赛中是很有意思的现象，长期以来人们就知道连胜或者连败都不是偶然的，这两个过程都具有"自激励"特征：当一个队已经连胜N场，这个连胜会激励他们去取得第N+1场胜利，也就是说下一场获胜的概率增加了。根据这个理论，如果火箭下一场赢山猫取得21连胜，那么他们在星期一对湖人的比赛中获胜的概率将会大大高于两队平时对阵的胜负统计。

关于连胜，有什么特别的数学么？

物理学家一贯关心任何有意思的事件。波士顿大学物理系的 Sidney Redner (http://physics.bu.edu/~redner/) 最近连续做了关于美国棒球联赛中连胜和排名的数学分析，下一场报告将于3月31日在Santa Fe研究所举行。以下是报告摘要：

Seminar Abstract

Monday, March 31, 2008 • 12:15 PM • Medium Conference Room, SFI

Sidney Redner Boston University

Understanding Baseball Team Standings and Streaks
Can one understand the statistics of wins and losses of baseball teams, and also their winning and losing streaks? Streaks are particularly appealing because popular discussion often suggests that long consecutive-game winning and losing streaks are self-reinforcing. We apply the Bradley-Terry model of competition, which incorporates the heterogeneity of team strengths in a simple way, to quantify the average win/loss record of any team as a function of its rank in major-league baseball over the past century. We also show that the distribution of winning and losing streaks decays exponentially with streak length at a rate that is determined by the spread in team strengths. More importantly, we present evidence that long winning and losing streaks have a purely statistical origin. The data further shows that the past half-century of baseball has been more competitive than the preceding half-century.

美国棒球联盟赛程非常密集（每个队要打162场常规赛），比赛比NBA（每队打82场）要多很多，因此提供了更多的数据。这篇摘要说，连胜的概率指数分布：如果 f(N) 是连胜或者连败 N 场的概率，那么 f(N)~N^γ. 其中的γ<0由各球队实力分布决定。这是一个很有意思的结果，因为如果比赛胜负按照实力来随机决定，N连胜的概率应该差不多正比于 p^N，其中p是这个球队取胜一场的平均概率。显然当N足够大，从N连胜到N+1连胜，这个self-reinforcing 模型预言的可能性比随机模型要高得多。

另一个结果，"More importantly, we present evidence that long winning and losing streaks have a purely statistical origin." 我没听报告不知道什么意思。这个研究同时显示，过去50年棒球联赛的竞争性比上更一个50年要激烈。

仅仅通过分析比赛数据，而不用专门看任何一场具体的比赛，就能分析出来这么多东西。这个研究很像《Freakonomics》这本书里提到的只从比赛胜负统计分析出日本相扑比赛中的造假行为很类似。