http://gezhi.org/taxonomy/term/552 The taxonomy view with a depth of 0. zh-hans http://gezhi.org/node/598 <p>由我之前在gezhi里提到的Floquet定理可以得到这样的结果：对于一个T周期的实系统<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/0c5ca09f594f6f8089db9a771a076bc0d6a2349e.png" alt="$\dot x=A(t)x$" /></span><br /> 可以通过2T周期的实变量代换<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/1fb659d452bc8b1aceb869eed0c0cff8a3316c3d.png" alt="$x=p(t)y$" /></span>将系统约化成常系数的实系统<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/d07893c8966657c60424bcb85f54c276ba2e1c3a.png" alt="$\dot x=Bx$" /></span><br /> 但有的时候，我们需要通过T周期的实变量代换将系统约化。这在理论上是一个比较难的问题，至今没有办法对任意的系统进行这样的操作，我的本科毕业论文是讨论在如下一类情况下，如何做这样的约化。</p> <p>定理：考虑方程<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/5d623edf9507c5bab351588cfe024af80b4f7b61.png" alt="$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x, \varepsilon\in(0,\varepsilon_0), x\in\mathbf R^n$" /></span>，其中A是n阶实常数矩阵，特征值为<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/673e1f88d130d3581495391c70ea703c15549eb4.png" alt="$\lambda_1, ..., \lambda_n$" /></span>，<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/211132542875ba0eed8f75fa6f1115f0d16ce249.png" alt="$Q(t)$" /></span>是<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/d71e9c3ec8b4fa65c6fa168ccab9bc63f8766f14.png" alt="$\mathbf R^{n\times n}$" /></span>中的T周期矩阵。假设<br /> (1) 令<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/85d7cb61e6713bc80b2d7b243a6fbc673b63a80c.png" alt="$Q(t)=F(\omega t)=F(\theta)$" /></span>，<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/f630a5b116da97ab60314b36e75dc88c316432ec.png" alt="$\omega=\frac{2\pi}{T}$" /></span>，<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/c4a168d554651f5524ccd3f9fbc5db87d878d18b.png" alt="$F(\theta)$" /></span>在<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/467c1894d865aac5dea5a95b9ff1319cf520e78e.png" alt="$D_{\rho}=\{\rho||Im \theta|\leq\rho\}$" /></span>上解析,<br /> (2) <span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/bce881bb94878fab7bc4e46cd01e6f9b76f2f8a9.png" alt="$|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|\neq 0, \forall k\neq 0$" /></span>，由周期系统的性质，存在正数<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/6174973f5672acf82b7ad9c5a9c3b8df00afff5b.png" alt="$\delta$" /></span>使得<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/c1e0815a599ec0b9c6e5e606c0aaadcde3244e7c.png" alt="$|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|&gt;2\delta, \forall k\neq 0$" /></span>,<br /> 那么，当<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/34f13821faf23630170d63721dc96d836df6765e.png" alt="$\varepsilon_0$" /></span>充分小且<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/a87216a568fa6e72668432d7d1c4cd6d51984b3f.png" alt="$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$" /></span>时，实系统<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/4f9cd5103ebb8558b1c7a84a7a3fa7c8bba6080f.png" alt="$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x$" /></span>可以通过T周期的实变换约化为实常数系统<span class="plaintex"><img class="teximage" src="/files/tex/12c165757d2455eb1d058dc242337b066dd34433.png" alt="$\dot y=By$" /></span>。</p> <p>可见，在对实的常系数系统做T周期的小扰动时，存在一个T周期实变换将系统约化。这个命题的证明主要是运用了迭代思想，我将在以后大致进行说明，迭代思想在动力系统中非常关键，比如重要的KAM理论。</p> http://gezhi.org/node/598#comments 科学 动力系统 数学 约化 Sat, 09 Jun 2007 09:08:40 -0700 魔群月光 598 at http://gezhi.org