Floquet 定理

魔群月光 — Wed, 25 Apr 2007 19:53:39 -0700

线性周期系统当中最重要的定理就是 Floquet 定理。这个定理的意思是一个具有周期系数的线性常微分方程可以通过约化成为一个常系数的常微分方程。考虑方程：
[tex]\dot{x}=A(t)x[/tex]，其中A(t)关于t是T周期的。
首先可以证明对于方程的一个基解矩阵[tex]\Phi(t)[/tex]，[tex]\Phi(t+T)[/tex]也是方程的基解矩阵，于是存在一个常矩阵C满足[tex]\Phi(t+T)=\Phi(t)C[/tex]，而且C可以表示成[tex]C=e^{BT}[/tex]，B是一个常数矩阵。
令[tex]P(t)=\Phi(t)e^{-Bt}[/tex]，易知P(t)是T周期的。
下面做变量代换x=P(t)y，并将x代入原方程[tex]\dot{x}=A(t)x[/tex]即可得到[tex]\dot{y}=By[/tex]
至此，就将周期系数的线性方程约化为常系数方程。

Floquet 定理具有非常重要的意义，因为它的高度概括性，使得它能应用在自然科学的很多领域，据我所知量子力学当中有这样一个结论：电子在一类周期势中运动时，其定态波函数总可以表示成一个平面波乘以适当的与势同周期的周期函数。在 Floquet 定理中正是[tex]\Phi(t)=P(t)e^{-BT}[/tex]。此外，在传染病模型等很多领域，都可以看到 Floquet 定理。

我的本科毕业论文正是关于 Floquet 定理，我所要研究的问题就是寻找一些普遍的情况，使得在这些情况下对于实系统[tex]\dot{x}=A(t)x[/tex]可以找到实的T周期变换x=P(t)y（而这在一般情况下是不能满足的）。