第三集大爷今年八十四

ipang — Thu, 19 Apr 2007 00:32:53 -0700

当阿基米德进入知天命之年，阿波罗尼奥斯¹还是个不知天高地厚的小伙子。他虽然在数学上表现得才华横溢，但与前者岁数上25年的差距使得他在阿基米德面前还是略显浮躁轻狂。有那么一天，阿波罗尼奥斯向长者炫耀自己已经完全掌握了大数的奥妙，言下之意是从阿基米德这学不到什么东西了。阿基米德听完他的“豪言”以后又好气又好笑，决定弄个题目折腾下这个小兔崽子，于是他说：

啊，朋友，如果你真的智慧过人，那么就来算算群牛的数目吧。它们蒙受太阳神的眷顾，自由的在广袤的西西里平原吃草。按毛色它们被分成4组：白、黑、棕、花，每种牛又分公、母。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于全体黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于全体花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于全体白牛数的1/6+1/7；在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数的1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。试问这帮牛有多少头？

阿波罗尼奥斯光看完题目就晕菜了。不料阿基米德还觉得太便宜这小子，于是又加了两行代码升级。他心怀不轨的继续打击阿波罗尼奥斯：啊，朋友，你就算解出上述问题，还称不上精通大数。要知道太阳神无所不能，他把白公牛与黑公牛放牧在正方形的牧场，而把花公牛和棕公牛在正三角形草原放牧²。这你要是都搞得定，那你可真是个专家了。

我想就凭希腊诸神个个脑满肠肥的德性，阿波罗亲自出马也搞不定这群牛，更何况阿波罗尼奥斯了。不光他搞不定，后世的几千名大数学家没有一个成功的，最终还要依赖计算机。直到1981年，当时世界上运算速度最快的克雷一号花了十多分钟才算出最终结果。这群至少有206545位数的牛全部剁成肉酱，银河系还盛不下边角碎料。

我们虽然解不出阿基米德的牛逼问题，但算式还是能列的。在α版本中，七个方程、八个未知数，按理说会有无穷多解，50389082是最小的那个。像这种未知数的个数比方程多、解的情况不确定的方程组，我们称之为不定方程，也称为“丢番图方程”。

丢番图方程以数学家丢番图³的名字命名，这位可爱的老头生活在公元250年前后的亚历山大城，以数学教授为生。之所以说他可爱，是因为他专注于他的研究，哪怕到死也不忘记工作。在蒙特罗多思的《希腊诗选》中，收录了四十多首与数学有关的“诗词”⁴，其中丢番图的墓志铭脍炙人口：

此地埋葬着丢番图，一位传奇人物！
墓志铭会告诉你，他究竟活了多少岁数。
他生命的六分之一是神所赐福的童年；
再经过十二分之一，他蓄起细细的胡须；
又过了七分之一人生，步入婚礼的殿堂；
婚后五年，他们有了爱情结晶；
可怜的孩子生命短暂，寿元只有父亲的一半；
老人在苦闷中生活四年，结束了红尘旅途。

This grave contains Diophantus. What a great wonder!
For the gravestone cleverly tells the length of his life.
God granted him the fate to be a child for a sixth of his life.
Then, having added a twelfth part, He put down on his cheeks.
After another seventh part, Diophantus grasped the wedding torch.
Five years after his marriage, God granted him a child.
Alas! Late-born wretched youth,
who only reached half the length of his father's life when cold death took him.
Diophantus, after soothing his grief for four years by this science of numbers,
brought an end to his life.

这首诗被中国各级数学摧残班的老师广泛引用，小学老师用它来“猜一猜”，初中老师用它来列方程，高中老师用它来考心算，大学老师用它来写数学史，我用它来八卦。丢番图最可爱的地方在于我们用不着支付一分钱版税，它还可以反过来帮我们赚学费。

丢教授一辈子写了两本书，一本叫做《算术》，讲的是数论的事儿；另外一本叫做《多角数》。这两本书命运多舛，尤其是《算术》，刚完成不久就被一个不长眼的小偷摸走了一半。我当然不愿相信这名小偷属于慧眼识英雄的那种人，他觉得丢教授的书写得太有意思了，于是借回去看几辈子——但这些有借没还的部分1968年于伊朗的马什哈德地区找到，据考证10世纪的时候就已经被翻译成了阿拉伯文。⁵

欧洲的数学家一早并没有对丢番图的著作予以重视，虽然有很多人觉得《算术》有价值，但是苦于蹩脚的希腊文而望之却步。1463年雷乔蒙塔努斯⁶写道：“从未有人考虑过将希腊语的丢番图13卷本翻译为拉丁文，如此艳丽的代数之花不得不深深掩藏。”直到1570年，意大利数学家拉斐罗•邦别利⁷才进行了一部分翻译工作，但拉拉可能觉得反正没有人看得懂希腊文，所以他也没有将译本出版而是在他自己的《代数》一书中“借用”了不少丢番图问题，留下一段文抄公“佳话”。最著名的拉丁文译本出自法国数学家克劳特•葛斯派•勃切⁸之手，他在1621年完整的翻译了《算术》一书并刊印发行。史上最彪悍的业余数学家费马也就是在阅读勃切翻译的《算术》时，突发灵感，在书页边上写下潦草的注释，带出了举世闻名的费马大定理。这个证明困扰全世界数学家300余年，正确结论直到1993年才由普林斯顿大学的安德鲁•怀尔斯教授公布。而刺激费马大脑皮层的不过是丢番图在《算术》一书中提到的一个丢番图方程：将一个已知的平方数分解为两个数的平方。

中国历史上最著名的丢番图方程大概算是韩信点兵了⁹。有一天吃爸爸的刘爷¹⁰向钻裤裆的韩爷¹¹打听军队人数。韩爷脑袋刚刚中了流蛋，手指头不够掰的数就数不清。于是他拽着江浙腔告诉刘爷：数目太大我弄不清，如果三个三个的数就剩两人，五个五个数就剩三人，七个七个的数就剩下两人，你要弄得明白一定要告诉我，我好按人头发军饷。刘邦也算不出，就算算得出也不会告诉韩信嘛——他小气得死了爸爸都要分口肉汤又怎么舍得发军饷呢！

丢番图对代数的贡献当然不仅仅是提出几百个有趣的代数题，他还第一个在代数运算中用到了字母与符号，比如他就用希腊字母ζ代表未知数。这虽然只是文字的简写形式¹²，但也算得上是真正符号代数出现前的重要发明。

后世虽有不少人对丢番图“代数学之父”的称号耿耿于怀，认为线性方程的解法无疑应当归功于古巴比伦帝国时期的数学家；然而没有人会否认丢番图对人类文明做出的巨大贡献，他把代数从几何的羁绊中解脱出来。对这个人我们了解不多，可这个人我们牢记于心。

注1：阿波罗尼奥斯（Apollonius of Perga 公元前约262年—公元前约约190年）是小亚细亚佩尔加人，他生平的信息主要来自其唯一的传世之作《圆锥曲线论》（Conics）各卷中作为前言的信件。阿波罗尼奥斯的研究涉及几何学及天文学，他最重要的数学贡献是在前人工作的基础上创立了完美的圆锥曲线理论，《圆锥曲线论》就是系统总结。这一成就直至17世纪笛卡儿、帕斯卡出场之前，始终无人能够超越，因为这部巨著对圆锥曲线“搜刮”得太狠了，以至于后人几乎无法插足。
注2：这句话的意思是指白公牛与黑公牛之和是一个完全平方数，花公牛和棕公牛之和是一个三角数。
注3：丢番图（Diophantus of Alexandria 公元前约200年—公元前约284年）
注4：蒙特罗多思（Metrodorus）的《希腊诗选》（Greek Anthology），书成于公元500年左右，书中收录的与数学有关的内容，与其说是诗，还不如说都是墓志铭或者日记之类的家伙。比如这首：德摩卡雷的人生，四分之一发童声，五分之一青春过，三分之一在劳作，弯腰拱背垂垂老，十三年后进坟堡。
注5：伊朗的马什哈德地区，The library Astan-i Quds（The holy Shrine library）in Meshed，Iran。译者是库斯塔•伊布•卢卡（Qusta ibn Luqa 死于公元912年），阿拉伯数学家。
注6：雷乔蒙塔努斯（Regiomontanus），即约翰•穆勒（Johannes Müler 1436年—1476年），德国天文学家。
注7：拉斐罗•邦别利（Bombelli Raffaello 1526年—1572年）
注8：克劳特•葛斯派•勃切（Bachet Claude Gaspar de Méziriac 1581年—1638年）
注9：韩信点兵是一个历史悠久的问题。最早的版本出现于《孙子算经》“今有物不知其数，三三数之賸二，五五数之賸三，七七数之賸二，问物几何？”它还有众多的版本，都是以诗的形式出现：三人同行七十稀，五树梅花廿一枝，七子团圆正半月，除百零五便得知；还有：三岁孩童七十稀，五留廿一事尤奇，七度上元重相会，寒食清明便可知。
注10：传说项刘争霸的时候，项羽有一次抓了刘邦的老爸，当着刘邦的面把他老爸搁在一口大锅前，以“煮了你爸爸”来要挟刘邦投降。结果无耻的项羽遭遇到更无耻的刘邦，他居然回话说：我俩是结拜弟兄，早讲好了同甘共苦，我爸爸就是你爸爸，你把他煮熟以后千万不要忘了分我一口汤。
注11：韩信年轻的时候在淮阴混大街。有一天路遇流氓团伙，流老大威胁韩信要么从裤档下钻过去要么就给他个调色板看看。大丈夫能屈能伸，韩信没有犹豫多久便选择了前者。
注12：有人认为ζ就是希腊语“未知数”的首字母。

丢番图

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