复杂系统

“流”的探索

jake — Mon, 10 Sep 2007 22:33:12 -0700

配有图片和超连接的原文文章请看这里：
http://www.swarmagents.com/complex/complexsys/flow.htm

“流”的探索

张江

2007.8

流动是复杂系统中的普遍现象之一，从看得见的流动，例如：水流、人流；到看不见的流动，如：电流、能量流、热流；再到更加抽象的：货币流、信息流等等，似乎如果一个系统是复杂的，它的内部就一定存在着各种流动。那么是否存在着某个普遍的规律制约着这些流动呢？答案应该是肯定的，虽然这种规律仍然“犹抱琵琶半遮面”，但是近年来有关生态学、非平衡态统计物理的研究已经逐渐逼近它，各种迹象表明，一种统一的可以描述复杂系统中“流动”现象的通用规律即将“横空出世”。我们为什么会衰老和死亡？大象为什么比蟑螂吃得多而繁殖得少？少数大公司为什么能垄断市场？城市的交通网络为什么与动物体内的血管那么相似？也许这些问题最终都能在这套新理论中找到答案。本文的目的就是想引领读者赶上复杂性研究前沿的步伐，亲身体验这些激动人心的科学发现。

本篇文章分为三章：一、流动与幂律二、分形输运网络三、通向理论

一、流动与幂律

1、流量与存量

假设你是一个公司的老板，正在运营一家拥有M亿元固定资产的企业，那么，你要保证每个月净盈利多少亿F才能使你的企业能够维持下去？很显然，这个问题取决于你这个公司每个月烧多少钱。由于每个月你都需要给你的员工开工资、需要交房租、需要购买新的电脑，那么这些花费的总和一定是一个与M有关的量。一般来说，M越大，公司每个月的花费F也越大，你需要为更多的人开工资、需要维护更昂贵的计算机设备，因此每个月公司需要赚取的净盈利也就越大。那么F和M究竟存不存在着某种数量关系呢？
不要着急回答这个问题，让我们先来看看大自然。大自然有各种各样的物种，每个物种都有着不同的重量（body mass）。同时每个物种都需要新陈代谢，它们需要不停的从外界环境获取能量资源以维持自身的生命。如果设一个物种的平均重量是M，它的新陈代谢量是F，那么一般来说M越大F也越大。大象要维持生存一天总要比老鼠吃的多得多。
对比这两个问题，我们会发现它们有着下面的类比关系：

公司<->物种
固定资产<->平均重量
每月的净盈利<->新陈代谢
货币<->能量

广义上说，这样的问题属于一种流量和存量的问题。由于公司的月盈利以及生物的新陈代谢都是一种流量，而固定资产和生物的重量都是一种存量。公司或者生物需要进行广义的新陈代谢从外界获取资源而转化成内部的存量。我们可以形象地用下图表示这个关系：

物种和公司就好比是这个大水缸，只不过一个存的是钱，另一个存的是能量。由于这个存量M会由于热力学第二定律（无序度持续增加）而不断地衰退，也就是说这个水缸是漏的，每时刻都有一个流出Fo，例如公司要计算各种固定资产的折旧费、生物则会因为新陈代谢而不断消耗着能量，因此，它需要不断补给流入Fi以维持M。当Fi=Fo的时候，系统的流入和流出平衡了，M就是不变的了。我们称这种状态为稳衡态（steady state），即一种动态之中的平衡。
不难想象，这里讨论的类似流、存储等概念并没有限定为具体的能量流或者货币流，因此，这是一种广义的流的问题，它普遍存在于各种复杂系统之中。你不妨自己寻找一下这个隐喻在城市系统、计算机系统、互联网、经济系统等系统中的应用。

2、神奇的数字3/4

下面，我们来具体探讨存量M究竟和流量F是一种什么关系。最早发现M与F之间存在着明确关系的是在生物界。1932年，一个叫Max Kleiber的生物学家对各种鸟类、哺乳类动物的尺寸M与新陈代谢F之间的关系进行了测量，并将它们的对数值画到一张图中，发现所有的数据点都排列到了一条直线上，如图：

这说明，F与M之间的确存在着一种幂律关系也就是其中F0和b都是常数。经测量发现，这个直线的斜率b接近于3/4这个数。这个关系后来又被Brody证实，小到老鼠，大到大象，新陈代谢和生物体重量之间的关系都符合确定的关系式：

其中，F0是一个与M无关的常数。随后，Hemmingsen又将这个结论扩展到了更多的物种，小到单细胞生物大到白鲸，它们的新陈代谢和生物量的关系都服从幂律分布：

（这个符号的意思是指F和M3/4成比例。虽然对于不同的物种集合来说F0有可能不同，但是指数3/4却都是一样的）。因为对于生物来说，它的体积（Body Size）是与重量呈正比的，所以，这个关系也表达了新陈代谢和体积V的关系：

仔细分析这个公式发现，它符合我们的直觉，即越大的生物体需要更大量的能量来维持自己的新陈代谢。一头大象显然要比一只老鼠吃得多。其次，这个公式也有反直觉的一方面。一般我们人普遍认为F与M是呈一种正比的关系即F~M。这样，当生物体体积增长10000倍的时候，它的新陈代谢也同样增长10000倍。然而，根据，事实却是当生物体增长10000倍，它的新陈代谢却仅仅增长1000倍，要小于线性增长的关系。因此，生物体为了维持每单位体积所需要的新陈代谢的能量是，反而会随着体积的增大而减小。因此，大象比老鼠能够更有效率利用吸收来的能量，即越大越好，所以3/4律蕴含了一种“规模效益”。

3、异速生长尺度规律（Allometric scaling）

当我们有了3/4律，还可以得到更多有意思的推论。因为我们可以把生物体理解为一个盛水的水缸，新陈代谢作为一种流动不断更新这个水缸里面的水。那么，我们考虑一单位新陈代谢吸收的能量会在水缸中平均逗留多长时间而被排出？经过很简单的计算可以得出，这个时间大概是：

即与重量呈1/4的幂律关系。经过试验验证人们发现，生物体的各种时间量，例如寿命、发育时间、怀孕时间都与它的重量的1/4呈正比。因为时间的倒数就是频率，因此，不难推论生物的各种频率（即快慢程度），如：心跳频率、出生率、死亡率（出生率与死亡率是针对整个种群而言的）都与M呈-1/4的幂律关系，即：

这里面的Q是生物的任何一种“频率”。这也就是说个头越大的生物，它的一切活动就会显得越慢，个头越小的则一切活动都越快。这很符合我们的经验观察：小老鼠喜欢不停的跳来跳去的，而大象则移动身躯都很费劲。（参考James Brown的文献）

生物体的寿命与重量呈1/4的幂律关系有些出人意料，这意味着实际上任何生物在诞生之日起已经被该物种的平均重量决定了其寿命。然而，该理论并没有指出生物为什么会衰老、为什么会死亡？也许对这一问题的解答现在还不是时候，不过从流动的角度来看，可以肯定的是衰老和死亡一定是跟生物体的新陈代谢有关系的。为了进一步阐明衰老、死亡和流动、新陈代谢的关系，作者作了这样一个有关流水的比喻。

上面的水缸比喻实际是一个生物体能量利用的简化版本，生物体吸收能量之后不仅仅能维持生存，而且还能进行运动、捕食、生育后代、学习文化知识，这些活动都需要消耗能量，因而，水缸之中的水流动就会得到一幅更复杂的生物体内能量流图，详细请看这里。

所有这些生物体的幂律关系有个统一的名称叫做：异速生长尺度律（Allometric scaling）。这里的Scaling就是指的各种生物量与生物体的体积大小有关，它们会随着生物体尺度的变化而变化。而异速生长则是指这种关系不是与尺度呈正比，即增长多少体积就会增长多少新陈代谢，而是呈现各种幂律关系，也就是说它们的增长速度是不同的。

4、无处不在的流动与幂律

本文开篇就指出，流动是一种普遍存在的现象，那么3/4幂律分布关系是否也能推广到各种复杂系统之中呢？答案是半对半错。3/4这个特定的数字可能不再成立，然而幂律关系是普遍存在的，下面我们来看几个具体的例子。
我们可以把城市比喻成一个生命系统，它也需要不断的从外界吸收各种物质、能量资源，也会像现实生物一样成长、发育、衰老。从这个角度看，给城市供给的各种能量、物质资源就相当于是输入到城市中的流或城市的新陈代谢，而消费这些能量、物质的人就可以看作是这个城市的存量，或者尺寸。城市越大，它能供养的人越多，因而需要的能量和物质也就越多。
德国的Christian Kuhnert等人就将德国各个城市的人口数（相当于M）和供给该城市的总电能（即F）进行了统计，并把这两个量的对数值画在一张图上得到了近似直线的分布曲线：

发现这条直线的斜率近似1.1，即。另外，他还统计了欧洲各个国家不同城市的人口数量与加油站数量、邮局的数量、饭馆的数量等量（这些量都可以看作是广义的流量F）之间的关系，发现类似的幂律分布曲线也可以得到，并且幂律指数一般都接近于1。这个例子说明，流量与存量这对关系在一切复杂系统中都有着相似的数量关系。（参考Kuhnert的文献）

为什么越穷的国家或地区越愿意生孩子？而越富有的国家则生育率极低？生物学家Melaine Moses 对美国在不同时期的平均每人消耗的资源和这一年的生育数量的对数值画到曲线上，得到了下图：

其中对于整个国家来说人均资源消耗就相当于是新陈代谢率F。在前面讨论的各种幂律关系中，有一个关系是出生率与生物体尺度的关系：，同时我们知道，这样不难得到：，这也就是上图统计出来的对数图中的直线表示的。看来，在强大的新陈代谢流动的自然规律面前，我们人类并没有多大的选择权利。（参考Moses的文献）

让我们回到一开始的公司规模问题。是否公司的资产规模也和公司的盈利存在着类似的这种幂律分布关系，甚至是不是这个分布的指数就是3/4呢？就笔者目前掌握的资料来看，没有人做过这个统计。但是，关于公司尺寸的分布存在着一个相关的幂律分布，这就是公司的规模与这种规模的公司数量之间存在着幂律分布关系：，其中b是一个正数。也就是说公司规模越大，相应的数量越小。这个关系已经被很多社会学家证明了，并且在社会学中，这个规律有个特定的名字叫做Zipf律。它也许可以间接证明存量与流量的幂律关系。（参考Axtell的文献）

如果将经济系统中的公司与生态系统中的生物体之间的类比是正确的，那么，我们有理由相信由能量流驱动构造的生物与由货币流驱动构造的公司遵循着同样的规律。这样不仅仅流量和存量之间服从着幂律分布关系，而且其他的有关时间尺度、频率与存量之间的幂律关系也可能试用。像生物一样，小公司好比是老鼠，相对灵活多变，但是平均寿命也短；而大公司就好比是大象，体积庞大、反应缓慢，但实力雄厚，存在的寿命也长。
让我们放眼大千世界，这样的流量与存量、时间与规模之间的矛盾和关系几乎到处存在，所以最初来源于生物学的3/4律的发现也许蕴藏着一切复杂系统共有的规律。

《复杂》——一本可能会影响我一生的书

jake — Wed, 18 Apr 2007 17:54:16 -0700

《复杂》导读

作者：米歇尔.沃尔德洛普翻译：陈玲

出版：三联书店

《复杂》这本书的出版可以说给中国的学术界打开了一扇窗子，让我们真正的了解了国外的复杂性科学。有人称《复杂》这本书是复杂性科学的“圣经”我看也一点不为过。《复杂》类似于纪实小说，读起来轻松愉快，然而这也许会让不熟悉的人摸不到头脑，因为单单从每一章的标题根本读不出来这一张所要讲述的主要内容。事实上，《复杂》叙述的学术内容涵盖了经济、生命、计算机、物理、哲学等等多门学科、多个层面。我再次做一个总结，方便大家阅读，并在相应的章节找到自己最想要的东西。

1、爱尔兰的英雄
主要叙述阿瑟（Brian Arthur）的故事，包括他的报酬递增率，以及新经济学上的一些洞见，还有对新古典经济学关于最优化经济人的质疑。当然文中也介绍了他的一些个人经历和科研成果。从这章你会体会到一场革命即将来临，这是一个非常好的复杂科学的切入点。如果你感兴趣的领域是经济学，并同样感受到新古典经济学的不足之处，那么这章一定要看。

2、老师倒戈
主要叙述考温、盖尔曼这些权威的物理学家、诺贝尔奖获得者是如何萌发研究跨学科的想法并筹建圣塔菲研究所的。其中包括了这些专家对自己以前研究方法的质疑，他们称新兴的方法为复杂系统方法。文中还介绍了一些物理学的知识。如果你对物理学感兴趣，建议看这章。

3、造物主的秘密
主要叙述考夫曼的个人研究经历，以及他的关于基因网络（外文大概叫boolean network)方面的研究，这个网络有望解释一个受精卵是如何演化出生物个体的。另外，这里也包括了对生命起源这个问题的研究。就是用计算机模拟地球在产生生命的时候的化学环境，看看是否会产生出原始的生命体。如果你对生物学着迷，就一定要看这章。

4、“你们真的相信这套？”
这一章内容很少，主要讲圣塔菲研究所的一场很重要的经济学研讨会，会议邀请了经济学家和物理学家，描述了用物理学的视角看待经济科学中问题的方法，以及双方的争论。

5、游戏高手
主要讲述约翰荷兰德（John Hollad)的个人研究经历和他的科研成果。主要包括遗传算法、分类器系统（这个分类器系统是一个能够自己进行学习的专家系统，搞专家系统的同志们一定要了解这个）。正如文中所说，hollad对复杂适应系统的理解和洞察在当时可以说超越了圣塔菲研究所的其他人。他提出了，人们要研究复杂系统更要研究复杂的适应系统。他在很多年前就提出了很多非同寻常的观点，包括对人工智能的认识。如果你是搞计算机或者自动化相关领域的，就不能不了解John Holland的思想。

6、混沌边缘的生命
讲述郎顿（lanton）和他的人工生命这门新兴学科的故事。如果说第4章以前的叙述仅仅是人们认识到了复杂系统这个东西，那么从这一章开始，人们开始意识到研究复杂系统的重要手段方法就是计算机模拟。这一章就是用计算机研究生命的思考。其中朗顿的混沌边缘的生命的概念不可谓不深刻，它指出了生命、复杂等现象是由何而来的。如果你是编程高手、计算机专家、生命科学专家就要看看这一章。

7、玻璃房中的农民经济
如果说第一章是提出经济系统中的复杂性这个问题，那么这一章叙述的就是如何解决问题。答案就在于计算机模拟。文中叙述了arthur,holland等人是如何用复杂系统、计算机仿真的观点研究经济的，他们提出了一个ASM（人工股市模拟）的系统构思，这个ASM可以在网上找到，可以说是第一个模拟经济的复杂系统模型。另外，里面还介绍了合作与竞争的问题，包括axelrod的囚徒困境博弈的计算机程序竞赛等有意思的东西。如果你是经济学、管理科学、社会科学的爱好者，那么建议一定看看这一章的东西。

8、等待卡诺特
作者通过比较热力学的发展和复杂科学的发展指出，现在的复杂系统缺乏一个统一的理论就象是热力学第二定律一样能够非常抽象的刻画出复杂适应系统的一般描述和解决问题的通用途径。可以说这一章是前面各章的一个升华，人们从单个复杂适应系统中总结出了好多通用的规律，而这一章是讲如何把这些发现连成一片。文中简单叙述了圣塔菲中的高手们是如何探讨这个问题的，并提到一般的复杂适应系统理论呼之欲出。可以说这章介绍了复杂系统科学在当时的研究现状和进展。理论家们不要错过这一章。

9、乘胜前进
这一章又是整本书的一个升华，可以说这一章是复杂系统科学的一个展望。作者重新强调了复杂性科学的基本含义和独立的视角。阿瑟提到了复杂系统观点是一种综合的方法，并且讨论了东方古老思想与复杂系统的关系。