测度

测度理论（5）

魔群月光 — Sat, 03 Mar 2007 08:17:02 -0800

这应该是“测度理论”专题的最后一篇文章。第四篇中，我提到仅用外测度的前三条性质加上开集的可测性这一条就能得到外测度的第四条性质，同时我还指出，这有可能预示着可以以开集为基础定义测度，这一篇我们就来详细地看这个问题。

我们首先回顾当初怎么定以外测度的，通过了这样几个步骤：第一，对于区间来说，将其体积定义为外测度；第二，对任何点集，用开区间覆盖点集，并取这些开区间外测度（也就是体积)之和的下确界，将这个下确界定义为点集的外测度。这种定义有直观的优点，从我们熟悉的区间的体积推广到外测度这个更加广泛的概念，有一个遗憾之处是开区间并不是有很好的“集合性质”的一类点集，这么说的意思是，两个开区间进行一定的集合运算后得到的新集合不一定仍是开区间。我们想到之前提及也许可以通过开集来定义测度，开集的本质是什么，也许会有很多的答案回答这个问题，但这里需要的一条是“开集由可数多个不相交的左开右闭的区间取并而成”，同时我们必须回忆起数学当中“集合环”的概念：对于一个集合类当中的元素A，B，如果A并B和A-B仍然属于这个集合类，那么这个类就是一个环，而有限个左开右闭区间取并而成的集合构成一个集合环。那么这和开集又有什么关系？我们下面来看一看用一种略微有些不同的方法定义外测度会有什么不同。

将覆盖用的点集换成左开右闭的区间，这个步骤很简单，只要在原先每个开区间的右侧加上一个点即可，而这一列左开右闭的开区间构成了一个开集，那么点集的外测度就可以叙述为包含点集的开集的测度的下确界。再由开集的可测性，我们就知道如果将左开右闭区间的体积定义为其外测度的话，这个外测度是具有完全可加性的（具体的含义将在下文指出），于是这个外测度就是左开右闭的区间构成的集合环上的测度。再将这个测度推广或者说扩张到一般欧氏空间的点集就得到了我们已经熟悉的测度概念。也许有人认为这种变化是一种吹毛求疵，的确，左开右闭的区间和开区间只相差了一个点而已，这种变化对于欧氏空间来说是微不足道的，我也认为将这种改变理解为形式上的也许更合适。但就像我们写文章时一样，虽然一个意思可以有很多种表达方法，但我们通常都在追求一种最为通顺和简洁的语调。而新引进的这个变化就可以理解为一种理论上更通顺的定义。事实也证明，当数学家们在试图推广测度的定义，将其一般化的时候，他们选择了从集合环上进行扩张这个方法。

下面我们来看看如何从最一般的角度定义测度，这是一种最广义的测度，以至于欧氏空间中的测度，Hausdorff测度都是它针对不同情况的特殊化。我将复述某些教科书上已有的内容，并尽量陈述的清晰一些。

首先是集合环的概念，前面已经说明，其含义是对于一个集合类当中的元素A，B，如果A并B和A-B仍然属于这个集合类，那么这个类就是一个环，进一步，若类中所有元素都是集合R的子集，并且R也包含在类当中，那么这个集合类就是一个域。

接着定义集合环上的外测度和测度：集合环的外测度是一种集合函数f，这个函数满足一些条件，1.f(ø)=0，2.具有单调性，即若A是B的子集，则f (A)<=f(B)，3.具有可加性和次可加性，可加性是说A和B不交时，f(A+B)=f(A)+f(B)；次可加性是指对一列集合：A1, A2,...,An,...将其并表示为A，于是f(A)<=f(A1)+f(A2)+...+f(An)+...。4.还要提出完全可加性的概念：当A1,A2,...,An,...互不相交时，f(A)=f(A1)+f(A2)+...+f(An)+...。如果集合函数f满足1，2，3，那么就说f是集合环上的外测度，当f还满足4的时候，就说f是集合环上的测度。

下一步要将集合环上的测度进行扩张。令E是这样一个集合，其元素可以被前述集合环中可列个集合覆盖，我们来定义E中任何一个元素X的外测度m*X，m*X =inf{f(A1)+f(A2)+...+f(An)+...，A1,A2,...,An,...覆盖X}。再引入Caratheodory条件，判定 X的可测性。

至此，集合环上的测度已经扩张到了新的点集上，就如同欧氏空间当中那样，将所有可测集合取出可以构成一个ϭ-代数，如果测度是从集合环扩张而来，那么新的 ϭ-代数就是一个ϭ-环。再简单说一下“完全性”的概念，如果某一个集合X的测度为0，则X的所有子集测度也为0，那么就说定义的测度是完全的（或者完备的）。不加证明的指出一点，任何一个环上的测度都有一个完全的扩张。同时还有一个重要的结果是，集合环上的测度的扩张并不唯一，我前面所介绍的只是其中的一种方法。

我们花了很多篇幅来了解了集合环上测度的扩张，这是有着客观要求的，数学的发展要求人们走出欧式空间，比如泛函分析要求考察紧空间上的测度，群表示论与 Lie群则要求讨论紧群上的左平移不变测度，可见在更为抽象的空间上找到有力的定义测度的方法是至关重要的。我们也可以看见，数学正是从相对简单的小问题发展到更加抽象和困难的内容，这提醒我们，永远不要因为解决了某个问题而沾沾自喜，毕竟我们的面前还有更深刻的数学。

测度理论（4）

魔群月光 — Fri, 02 Mar 2007 06:31:09 -0800

我们已经得到了测度和可测集的定义，简言之，测度就是可测集的外测度。到目前为止，我们几乎又进入了一个较为抽象的阶段，我们知道测度和可测集，但却都是在概念的意义上，而对可测集缺乏一个基本的认识，仅仅Caratheodory条件并不能非常直观或者说直接的说明可测集与我们已经熟知的一些集合的关系，这一节，我们就是要从这个角度入手，更进一步的认识可测集的性质。

在所有种类的集合当中，最基本的也是我们最为熟悉的恐怕就是开集（在相同的意义上，我们也可以说是闭集）。开集是这样一种集合：对于开集中的任意一点，其“周围”的所有点都属于同一个集合，开区间就是最为简单的开集，更复杂的开集是有限个开区间的并与交，我们在最初定义外测度的时候，就是利用了开区间的体积这个概念，同时只需要非常简单的推理就会发现开区间满足 Caratheodory条件，即开区间是可测集，那么一个自然的问题就是，开集是否也是可测集呢？答案是肯定的，证明需要稍微复杂一些的推理，将用到外测度古怪的第4条性质，所以在这里省略。有意思的一点是，结合外测度的前三条性质和开集的可测性，我们可以推导出外测度的第4条性质，这揭示了一个深层次的问题，意味着我们可以以开集为基础定义测度，这一点将在日后广义测度的问题当中再次提到，我们就能发现这将是多么基本的一个性质。

有了开集的可测性，好处就是我们可以更清楚的认识可测集。这里要再次引入数学上的一个概念： ϭ -代数。我们通过开集构成的ϭ -代数来认识这个概念：众所周知，有限个开集的交和并仍然是开集，可列多个开集的并是开集，但可列多个开集的交却不一定是开集，尽管如此，我们仍然将由可列个开集取交得到的集合记为Gð型集，与之对应的，由可列个闭集取并得到的集合记为Fϭ型集，而闭集又可以从开集取补而得到，于是无论是开集，闭集，Gð 型集，Fϭ型集都可以从开集得来，我们把这些集合的全体叫作由开集得到的ϭ -集类，或者是Borel集。研究Borel集，我们知道Borel集对于并，做差，可数并是封闭的，这也正是ϭ -代数在数学上的定义。再回到测度上来，从开集的可测性和Caratheodory条件出发，我们可以推知Borel集是可测的，下面要不加证明的写出两条定理，以更完全的说明可测集和Borel集的关系。

1.对于任意集合E，都存在Gð型集合G，满足：G包含E，G的测度等于E的外测度。

2.对于任意可测集E，都存在Fϭ星集合F，满足：E包含F，F的测度等于E的测度。

根据第2个定理，我们可以做这样的推理：令F'=E-F，于是F'可测，且F'的测度为零。这样，就得到了我们需要的结果：任何一个可测集都是Fϭ型集合与一个零测度集合之并。至此，我们可以看出可测集与开集的直接的关系，而在关于测度理论的最后一篇文章当中，我将回到本篇前面所提到的结论：可以以开集为基础定义测度，并且将这种方法推广，跳出欧式空间，对于一般的集合环定义测度并将这种测度进行扩张，这有助于我们深入的认识“测度”这个概念的本质。

测度理论（3）

魔群月光 — Wed, 28 Feb 2007 20:00:32 -0800

上一篇结束的时候提到了外测度与传统的体积概念两者之间一个引人注意的差别。这个差别是关于外测度和体积的可加性：传统的体积允许将两个区间的体积相加，只要这两个区间满足不相交的条件；但这一性质，在外测度的范畴内却得不到满足。为什么会有这样的差别？这一篇中，我们首先要考察的就是如果允许这样的加法进行的话，会有什么样的后果或者说结论。我们来构造一个集合：

取(0,1)开区间，任取其中一个元素x，将(0,1)中所有与x距离是有理数的元素取出来组成一个集合，可以知道对(0,1)中所有的元素进行这样的操作以后，可以将开区间(0,1)分成若干个互不相交的集合，从每一个这样的集合中取出一个元素，组成一个新的集合，我们把这个集合标记为Ŝ。接着，将(-1,1)中所有的有理数取出，按从小到大的顺序排列r1,r2,..., rn,...（这里有必要说明，任一个有理数集合都是可列的，对于可列这个概念的直观理解就是可以将其一个一个写出来，既不重复也无遗漏），将Ŝ按照 r1,r2,...,rn,...进行平移，我们把平移后得到的集合列标记为Ŝ(r1),Ŝ(r2),...,Ŝ(rn),...，只要简单的推理就知道 Ŝ(r1),Ŝ(r2),...,Ŝ(rn),...是互不相交的，而且它们的并集是(-1,2)的子集，且它们包含区间(0,1)。如果，外测度是可以进行之前所提到的加法运算的话，在这里就能推出矛盾：Ŝ的外测度既是0又不是0（详细的推导省略）。

也许有人会想，或者可以改变定义外测度的方法来克服这个问题，使得不相交点集的外测度可以相加。但事实上，这是一个实质性的困难，在引出上面这个矛盾的例子中并不需要借助外测度的定义进行推导，只要外测度是体积概念的推广，即具有平移不变性和上一篇中的性质(1),(2),(3)，就不可能克服这个问题。

但是，将体积概念进行推广，并不是要抛弃原先的一些简单而有用的性质，我们仍然需要尽可能将不相交点集的外测度进行相加，可以想见的一个办法就是将满足这个性质的点集提取出来进行单独的研究，数学家们由此将这些点集定义为可测集，可测集的外测度就叫作它们的测度，而如前所述的那个矛盾中提到的集合就是不可测集，需要再次提醒的是，任何点集都具有外测度，但只有可测集具有测度。

下面的一个问题就是，如何简单有效的判断一个集合是否是可测集。

我们不加分析和推理的引出一个概念，在数学上叫作Caratheodory条件，它说的是一个集合U如果可测，那么对于任何集合T，满足，T的外测度等于T在U和U的补集当中两个部分的外测度之和。

至此，可测集就定义完成了，它带来的进步是对度量的更深刻认识，不仅仅是一段区间，甚至看似没什么规律的无穷多的点，人们都可以测量和计算其长度与面积，由测度论引发的积分理论的进步，为数学和物理的进一步研究铺平了道路，并且在更广泛的领域深刻的影响着人类生活的各个方面。

测度理论（2）

魔群月光 — Wed, 28 Feb 2007 07:44:22 -0800

我一直在考虑,是从最抽象的角度说明测度的本质还是通过我们熟知的一些概念深入到某种特殊的测度,再上升到一般.记得杨振林曾经说过,中国的学生擅于演绎,美国的学生擅于归纳,言下之意就是中国的学生从特殊归纳到一般的能力不足.既然如此,我不妨遵循一般教科书的顺序,从普遍易于接受的特殊测度讲起(事实上,对于内容简单的实变函数书来说,这已是其测度理论部分的全部内容).

为什么需要测度,这在前一篇中已经有提及,我们曾经提到积分, 提到Dirichlet函数,那么对于一般的函数其又与测度有什么关系?这就要讲到测度的由来,测度正是我们熟悉的面积或体积概念的推广,而积分恰恰是一种面积(严格的说,是函数下方图形面积的上确界).Lebesgue推广Riemann积分到Lebesgue积分,可以说,积分理论的发展是实变函数发展的最本质动力.因此,在这里重申一下测度理论和积分的关系是有必要的.

既然测度是面积或体积概念的推广,那么首先就可以定义区间的测度,一般将区间的测度定义为区间的长度(R),面积(R²)或者体积(R³),更高维数的区间就叫做测度.这从本质上说明了面积和体积这些日常生活概念的一致性,它们恰恰都是不同维数的空间中的测度.如果一个点的集合可以表示成若干个区间,那么其测度自然不难定义,但是对于更一般的点集呢?比如实数轴上所有有理数点的测度?数学家擅长的一种方法就是将未知的问题转化为已知,既然已经有了区间的测度,那么一般点集的测度也通过区间的测度来定义.方法就是,用若干个区间(可能是无穷多)覆盖点集,求这些区间的测度之和,这时候区间就好像尺子,当区间分的越细,对于点集的"测量"就会越精确,稍微思考一下就会得出这样的结论:区间分的越细,其测度的总和就越小,但这个小也是有限度的,有一个下界.这个下界还不能叫测度,数学上叫作外侧度,同样,区间的体积也是外侧度,我会在以后说明区间的测度和外侧度是相等的,这里我们不妨先统一叫做外侧度.

有了外侧度,我们就要考察它的性质,它比原来的体积深入在哪里,外侧度和测度有什么关系,如何从外侧度进行到测度.

外侧度有4个基本性质,以下集合都是指点的集合:

1.空集也就是不包含任何点的集合外侧度是0

2.如果一个集合包含在另一个集合内,即它的点也是另一个集合的点,那么自然它的外侧度小于后者

3.若干个集合(可能是无穷多个)并在一起以后的外侧度小于原先所有集合外侧度的和

这3条和我们熟悉的区间的体积性质没有什么区别,也不难理解,关键是第4点

4. 两个集合,只有当它们之间存在间隙时,外侧度才可以相加.这是一个值得注意的变化,它不同于区间,我们知道只要区间不相交,甚至它们粘在一起,体积也是可以相加的(粘在一起并不难理解,比如(1,2)和[2,3)就是粘在一起,当然这不是一个严格的数学语言,同时要指出这两个区间之间没有间隙哪怕再放下一个点).

测度理论（1）

魔群月光 — Thu, 22 Feb 2007 08:26:55 -0800

好吧,"我们"知道分形空间中利用的是Hausdorff维数和Hausdorff测度,那么Hausdorff测度是很重要了,但它只是众多特殊,具体的测度中的一个.在计算长方形的面积时,我们用"长乘以宽",一维的度量量可以毫无障碍的过渡到二维,这是一个看似简单的问题,但要把它说清楚却不那么容易.其实,这些问题和传统的数学分析当中,关于积分和极限次序的可交换性这个看似更复杂的问题有着同一个背景.我们习惯于在一个欧氏空间中讨论问题,习惯于其简单清晰的度量概念 (或者这种简单清晰仅仅因为我们的习惯),但事实上,把度量向更抽象的空间进行推广确实大有好处,可以解决更多的问题,也使我们看待世界的眼光更加深刻.

首先回顾一下在欧氏空间中怎么度量长度的,以一维的线段为例.归纳我们习以为常的计算方法的话,有这样几条基本性质或者说假设:1.将空集的长度定义为零;2.当线段ab包含cd时,ab的长度大于cd的长度;3.当若干条线段有重合时,其总长度小于每条线段长度之和;4.将线段平移,其长度不变.其实,无论线段长度的性质如何,它都需要具有一个基本条件,即线段是连续的,这样的定义方式完全可以应付日常的生活,但是对于数学家来说,可能却过于苛刻.比如在积分研究当中有这样一个函数,在所有有理数点的函数值是1,在所有无理数点的值是0,这叫作Dirichlet函数,它在传统的积分意义下是不可积的,因为任意小区间上的跨度都是1.但假如能够换一个角度考虑问题,在计算长度的时候并非要求连续的线段,也就是说如果一个线段从中抽取掉无穷多个点,其长度仍然可记的话,情况就会发生改变.随之而来的要求有一个新的长度度量方法,使我们可以计算任意点的集合的"长度",或者"体积"等等,至少也要能够判定其是否可以计量或不可计量,目的就在于扩大可以度量的"长度"的范围.一个新的概念在数学上叫作测度.