近似 | 格致

网上转悠的时候看到美国Stetson University一个Associate Professor(Erich Friedman)的网页上有个栏目叫Math Magic。从98年底开始就有一个每月一题的栏目，可以把答案mail给他。2004年8月份的题目是，如何利用 $1-n$ 的整数以及+ - * / ( ) ^ 这几个运算来得到与几个常见的常数近似的数值，常数中有 $e=2.7182818... , \pi=3.141592654....$ 等。最后回信当中有一个叫做Richard Sabey的家伙给出了大量近似表达式，其中包括下面这个夸张的结果：

将1-9这九个数字写成如下形式
$(1+9^{-4^{7\times6}})^{3^{2^{85}}}$
最后计算所得值与 $e=2.7182818...$ 之差居然小到 $-2.01\times 10^{-18457734525360901453873570}$ ！就是说准确到小数点之后18457734525360901453873569位。当然还有很多准确到小数点之后几十位的结果，相比之下就变得不值一提了。