数学

维度：数学漫步

Yan — Fri, 27 Jun 2008 00:38:12 -0700

Solidot 推荐了一部创作共用版权的数学科普电影：《维度：数学漫步》。各个章节适合不同年龄段学生。

《维度：数学漫步（Dimensions: a walk through mathematics）》是两小时长的CG科普电影，讲述了许多深奥的数学知识，如4维空间中的正多胞体、复数、分形（fractals）、纤维化理论（fibrations）等等。这部电影以创作共用署名-非商业用途-禁止演绎 3.0许可证发布，你可以自由下载和复制但不允许商业使用。电影介绍，预告片，可以通过HTTP或BT方式下载不同语言的版本（法语，英语，西班牙语和阿拉伯语），当然也可以花10欧元购买DVD（包括20页的小册子，并提供中文字幕在内的12种语言）。

一些图片：

数学是被发现的还是被发明的？

Yan — Mon, 28 Apr 2008 09:29:37 -0700

Solidot 上有个有趣的帖子：数学是被发现呢还是被发明呢？指向 Science News 上这篇文章：Still debating with Plato。

柏拉图主义者的回答是“被发现”，这些人中包括了著名的数学物理学家罗杰彭罗斯(Roger Penrose)爵士。他们认为数学陈述的对和错与个人信仰无关，暗示它们是某种客观现实。这又引发了一个奇怪的想法：客观，那它又在何处。数学真理真的在我们的想象之前就存在？不过从另一方面说，如果数学是被创造的，为什么2 + 2不能等于5呢？

这里学数学和理论物理的人不少，也许会对这个问题也感兴趣吧。

数学一直被认为非常特别，是科学的基础，甚至独立于科学。但我个人会认为数学和物理、音乐一样，依赖于人。如果有外星人存在，那他们很可能会有非常不同的“数学”。如果你持相反观点，请说服我。：）

Science News 上这篇文章引用了欧洲数学学会时事通讯 2007 年六月期上一篇文章 Let Platonism Die。同时还引用了今年的六月期上的三篇文章，这一期应该还没发布。看来值得期待。

补充：发明还是发现，是否可依据“如果人不存在，它还存不存在？”来判断？如果人不存在，数学在哪里呢？

【推荐】基础数学教科书电子版下载

kosmos — Sun, 30 Dec 2007 07:16:41 -0800

挑选了一个完整系列的基础数学教科书，都是pdf文件，供下载。
若能认真地遵此教材学习，自可构筑一极其优秀的数学基础。

【项武义】的基础数学系列教程
项先生这套书基本上可以说是，只要念过小学或初中数学，就可以开始念，是一套数学味道很醇正的教材。
基础代数学
 基础几何学之一
 基础几何学之二
 基础分析学之一
 基础分析学之二

【陈省身】微积分教材
陈省身应该有更多的人知其名，一代之大师。他这套讲义是其晚年到南开给大学低年级学生的讲课记录，自然也是味道醇正。
第一册
 第二册
 第三册
 第四册
 第五册
 第六册

more@kosmos.cn

‘Trigonmetry, Calculus & Analytic Geometry’ pdf download

ipang — Thu, 25 Oct 2007 18:47:18 -0700

Web links for PWWS

Web address: http://www.box.net/shared/kgoolyo1hc

RSS: http://www.box.net/shared/kgoolyo1hc/rss.xml

‘Trigonmetry, Calculus & Analytic Geometry’ Category List

‘Geometry & Algebra’ pdf download

ipang — Tue, 18 Sep 2007 19:06:40 -0700

有朋友不认识几何画板的.gsp格式，希望我能放出一些通用的来，比如说.pdf。那么我当然要从善如流，我就将这一章的所有课件的完整截图制作成了一个.pdf文件，供有兴趣的朋友们参考。

只是.pdf文件丧失了原课件的很多乐趣，首当其冲的是动态操作，其次有些符号显示不出来。所以这个.pdf文件有那么点儿缺陷在里头，如果大家想体验完整的，我建议还是下载文件，把扩展名改成.gsp，然后用几何画板看。

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图说

ipang — Thu, 09 Aug 2007 19:26:28 -0700

Proof Without Words，中译一般为：图说一体不证自明，加个书名号就变成了耐尔森的著作。亚马逊上这本书售价30多美元，我买不起。幸运的是学生家里有钱，有个学生从美国回来带了一本，我就顺手牵羊拿过来看。

由于实在是很有用，尤其是对于中学数学教学来说，我决定把整本书扫出来。但是书的规格有点怪，扫描仪放不下，于是我只好用我心爱的H5照。这是第一步，接下来我准备把整本书译一遍（反正没几个字），并把所有的内容全都做成几何画板课件。

这些照片会陆续、分章节放到我的网志上，要声明的是：版权归原作者和出版社所有，我干的只是记录和学习，绝对不会用在商业用途。

数学笔记（四）

path2math — Sun, 10 Jun 2007 11:46:18 -0700

这一篇纯属自娱自乐。顺便试一下格志新的DruTex。

设A是可换环。对于A上的n阶矩阵M，把它的特征多项式det(Ix-M)（I是单位矩阵）记为f(x)。Cayley-Hamilton定理说，如果把矩阵M代入它的特征多项式里，得到的结果f(M)是零矩阵。这个学过线性代数的人都知道，不过既然这篇纯属自娱自乐，我就来扯扯这个定理。

关于这个定理我看到过三个证明。

第一个大概是最普通的吧，假设A是代数闭域，比如复数域，我们可以把M化成Jordan标准形，于是定理是显然的。对于A是一般可换环的情形，我们可以把n阶矩阵的各项(a_ij)看成是独立变量，然后只要在环Z[a₁₁,a₁₂,...,a_nn]上证明即可。这是一个整环，所以我们可以考虑它的分数域，然后把这个分数域埋入一个代数闭域里（我们有大定理说这总是可能的），然后就可以把矩阵化成Jordan标准形了。不过如此证明实在有点杀鸡用牛刀，不值得提倡。

第二个证明是这样子的：令N=Ix-M，把N的余因子矩阵记为N'。N'的各项都可以写成x的n-1次多项式，所以N'可以写成矩阵系数的多项式N'=P_n-1x^n-1+...+P₁x+P₀。由NN'=N'N=f(x)I，我们得到矩阵系数多项式的恒等式：
(Ix-M)(P_n-1x^n-1+...+P₁x+P₀)=(P_n-1x^n-1+...+P₁x+P₀)(Ix-M)=f(x)I

特别的，由前一半等式知道M和P_i (i=0,1,...,n-1)是可换的，所以我们可以把M代入x（注意可换性是重要的，否则的话是不能代入的！），于是得到f(M)为零矩阵。这个证明很有技巧性不大容易明白，不过比第一个证明是要简洁明快的多了。

第三个证明是我最喜欢的，在我看来这才是直奔问题的本质：关键在于，要找到一个正当的借口把矩阵代入到det(Ix-M)中的x里面去。这个借口是这样的：我们可以把M看成是A上的n阶自由加群F的线性变换。把这个线性变换记为T，然后考虑A上的多项式环A[x]，把x的作用规定为T（这就是借口！），则F可以看成是A[x]-加群。设F的基为e₁,...,e_n，令M=(a_ij)，根据定义我们有：
$$
x
\left(\begin{array}{c}
\mbox{\textbf{e}}_{1} \\
\mbox{\textbf{e}}_{2} \\
\vdots \\
\mbox{\textbf{e}}_{n} \\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{rrcc}
a_{11} & a_{12} & \ldots & a_{1n} \\
a_{21} & a_{22} & & a_{2n} \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\mbox{\textbf{e}}_{1} \\
\mbox{\textbf{e}}_{2} \\
\vdots \\
\mbox{\textbf{e}}_{n} \\
\end{array}\right)
$$
" />
注意这里列向量的各项是F的元（而不是A的元！），并且把F看成是A[x]上的加群。左边减右边即得：
$$
\left(\begin{array}{rrcc}
x-a_{11} & -a_{12} & \ldots & -a_{1n} \\
-a_{21} & x-a_{22} & & -a_{2n} \\
\vdots & & \ddots & \vdots \\
-a_{n1} & -a_{n2} & \cdots & x-a_{nn} \\
\end{array}\right)
\left(\begin{array}{c}
\mbox{\textbf{e}}_{1} \\
\mbox{\textbf{e}}_{2} \\
\vdots \\
\mbox{\textbf{e}}_{n} \\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
\mbox{\textbf{0}} \\
\mbox{\textbf{0}} \\
\vdots \\
\mbox{\textbf{0}} \\
\end{array}\right)
$$
" />
再在左右两边乘上(Ix-M)的余因子矩阵，就有
$$
f(x)
\left(\begin{array}{c}
\mbox{\textbf{e}}_{1} \\
\mbox{\textbf{e}}_{2} \\
\vdots \\
\mbox{\textbf{e}}_{n} \\
\end{array}\right)
=
\left(\begin{array}{c}
\mbox{\textbf{0}} \\
\mbox{\textbf{0}} \\
\vdots \\
\mbox{\textbf{0}} \\
\end{array}\right)
$$
" />
这意思是说，f(x)作用于F，结果是0。由于x的作用就是M所对应的线性变换，于是当然f(x)就是f(M)所对应的线性变换。所以f(M)是零矩阵。
这个证明很能体现抽象代数的威力，不过大概不适合初学者吧。

下面我要说说我自己的证明。这个证明既不易懂，也不简洁，更不适合初学者，如果说它有什么优点，大概在于其动机的天真无邪还有其过程的坚持不懈吧。呵呵。

这个证明的动机是这样的：如果把矩阵M的各项a_ij看成是独立变量，那么（按照定义来原原本本地计算）f(M)的各项都是关于a_ij的多项式。Cayley-Hamilton定理说，这些多项式都正好等于0。那么这些多项式究竟具体是什么样子的呢？它们各项的系数又是怎么互相抵消，正好为0的呢？这个抵消是显而易见的还是不那么显然的？我们是否可以从这个方向上给出Cayley-Hamilton定理的一个证明？
下面我们将会看到，这个各项系数的抵消确实不那么显然，不过仍然是可以理解的。通过单纯地按照定义来计算f(M)的各项而给出Cayley-Hamilton定理的证明，确实是可能的。且听我慢慢道来。

设M=(a_ij)，那么易知M^k的(i,j)项是：

其中都分别从1跑到n。这个和中的每一项可以用一条从i走到j的长度为k的路径来表示，这条路径的每一段连接了1到n中（允许重复）的两个标号。

另一方面，特征多项式f(x)的k次项系数，是把矩阵(-M)去掉第h₁行h₁列，第h₂行h₂列，...第h_k行h_k列之后得到的所有小矩阵的行列式之和。这里h₁,h₂,...,h_k跑过在1到n里选取k个的所有组合。把从1到n中去掉h₁,h₂,...,h_k后得到的补集记为{g₁,g₂,...,g_n-k}，然后把行列式完全展开地写出来，我们就得到f(x)的k次项系数是：

其中g₁<g₂<...<g_n-k跑过在1到n里选取n-k个的所有组合，跑过1到(n-k)上的所有置换。大家都知道置换可以写成互不相连的循环的积。如果分解成p个循环的积，容易知道。所以上面这个和中的每一项可以表示成几个互不相交的圈，项的符号由圈的个数决定。

由以上的考察可知f(M)的各项都是a_ij的n次齐次多项式，为了看出这多项式是怎么抵消为0的，我们考察每个n次单项式前面的系数。一个这样的单项式可以由一个有向图来表达。图的顶点是从1到n的标号，一条从顶点i到顶点j的边表示这单项式的一个因子a_ij。显然这样一个图共有n条边。

那么对于f(M)的第(i,j)项，每一个这样的n条边的有向图（所对应的单项式）的系数是多少呢？由以上的考察可知，如果我们能在这个图中找到一条从i到j的路径，并且在这个图上把这路径中的边都去掉以后剩下来的正好是几个互不相交的圈，那么它就正好对应于我们要计算的和中的一项。这一项的符号由圈的个数决定。

总结一下我们做出下面的定义：
对于有n个顶点、并且顶点被从1到n编了号的一个有向图G，把定义为G中满足下列性质的所有路径P的集合：
1。P的始点为i，终点为j。并且P中没有重复的边。
2。把G中属于P的边去掉，得到的图正好由p个互不相交的圈组成。

于是Cayley-Hamilton定理被翻译成下面这个定理：
对于有n个顶点、并且顶点被从1到n编了号的任意一个有向图G和任意的(i,j)，如果G有n条边，则

其中表示集合的元的个数。

这是怎么回事？我们有办法理解这个看起来有点神秘的等式吗？如果你中毒和我一样深或者比我还要深，一定会看出这个等式的左边看起来象是一个欧拉数的形状。这个欧拉数等于0，暗示了一个恰当序列（exact sequence）的存在。是的，你没猜错，确实有这样一个恰当序列，而且上面要求G有n条边的这个条件其实也不是本质性的。这就是下面这个定理：

对于任意一个顶点编号的有向图G和任意的(i,j)，把定义为以中元为基生成的自由Abel群。只要G不是由一条从i到j的简单开路径和若干个圈的非交和构成的（如图一的那种情况。注意这种情况下边数总是比顶点数少1），那么就存在一个恰当序列：

证明。首先定义微分。对于的一个基也就是的一个元P，把G中属于P的边去掉得到p个互不相交的圈。假设这p个圈中与路径P相交的共有q个。把这q个圈按照这样的方式来排一个序：对于两个圈R和S，我们从顶点i开始沿着路径P往前走，如果最先碰到的是R的顶点，则规定R<S，反之亦然。如此我们把这q个圈从小到大依次记为C₁,C₂,...,C_q。对于这里面的每一个圈C_r，从顶点i开始沿着P往前走，在最初碰到C_r的那个顶点处停下，绕着C_r转上一圈，然后再继续沿着路径P走下去，这样就定义了一个新的路径L_r，显然L_r是的元。于是d_p定义为：

容易知道，所以这确实是一个chain complex（锁复形？）。下面要证明它的恰当性。为此我们这样来构造一个chain homotopy（锁同伦？）：和上面一样，对于的一个元P，把G中属于P的边去掉得到p个互不相交的圈。从顶点i开始沿着P往前走，设依次经过的顶点为i=v₀,v₁,...,v_r,...,v_s,... 假设v_s是第一个重复经过的顶点，比如说v_s=v_r，并且在从i到v_s的过程中没有和任何一个圈相交过，那么我们这样来定义一条新的路径K：从顶点i开始沿着P往前走，在到达v_r之后跳过v_r到v_s中间的部分直接从v_s开始往后走下去。显然这个新路径是的元。如果没有发生上面假设中的情形，则把K理解为0。这样我们把定义为。
为了验证这确实是一个chain homotopy，我们只需要说明。这应该是不难确认的。证毕。

由同调代数的一般论我们知道恰当序列的欧拉数必然等于0。所以这个定理把Cayley-Hamilton定理作为一个推论。如此我们就给出了Cayley-Hamilton定理的一个组合论的解释，并且用同调代数的方法证明了它。

最后给一个具体的例子。考虑2阶的情形。
令 \left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array}\right)
$" />。则f(M)=
\left(\begin{array}{cc}
a_{11}a_{11}+a_{12}a_{21} & a_{11}a_{12}+a_{12}a_{22} \\
a_{21}a_{11}+a_{22}a_{21} & a_{21}a_{12}+a_{22}a_{22} \\
\end{array}\right)
$$
$$
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \
-(a_{11}+a_{22})
\left(\begin{array}{cc}
a_{11} & a_{12} \\
a_{21} & a_{22} \\
\end{array}\right)
+(a_{11}a_{22}-a_{12}a_{21})
$$" />
考虑f(M)的第(1,2)项中单项式a₁₂a₂₂的系数。这个单项式对应的图画在图二中。从1到2，再在2上绕一圈这样一条路径对应与M²中的那一项。从1直接到2的路径对应于-(a₁₁+a₂₂)M中的那一项，图中去掉这条路径以后剩下的那个圈正是f(x)的一次项系数里的a₂₂。因为是1个圈，所以要在乘上-1。于是两项加起来正好等于0。

周期线性系统的约化问题

魔群月光 — Sat, 09 Jun 2007 09:08:40 -0700

由我之前在gezhi里提到的Floquet定理可以得到这样的结果：对于一个T周期的实系统
可以通过2T周期的实变量代换将系统约化成常系数的实系统
但有的时候，我们需要通过T周期的实变量代换将系统约化。这在理论上是一个比较难的问题，至今没有办法对任意的系统进行这样的操作，我的本科毕业论文是讨论在如下一类情况下，如何做这样的约化。

定理：考虑方程，其中A是n阶实常数矩阵，特征值为，是中的T周期矩阵。假设
(1) 令，，在上解析,
(2) ，由周期系统的性质，存在正数使得,
那么，当充分小且时，实系统可以通过T周期的实变换约化为实常数系统。

可见，在对实的常系数系统做T周期的小扰动时，存在一个T周期实变换将系统约化。这个命题的证明主要是运用了迭代思想，我将在以后大致进行说明，迭代思想在动力系统中非常关键，比如重要的KAM理论。

第四集追逐无尽的身影

ipang — Sun, 06 May 2007 00:39:26 -0700

原文地址：第四集追逐无尽的身影

Floquet 定理

魔群月光 — Wed, 25 Apr 2007 19:53:39 -0700

线性周期系统当中最重要的定理就是 Floquet 定理。这个定理的意思是一个具有周期系数的线性常微分方程可以通过约化成为一个常系数的常微分方程。考虑方程：
[tex]\dot{x}=A(t)x[/tex]，其中A(t)关于t是T周期的。
首先可以证明对于方程的一个基解矩阵[tex]\Phi(t)[/tex]，[tex]\Phi(t+T)[/tex]也是方程的基解矩阵，于是存在一个常矩阵C满足[tex]\Phi(t+T)=\Phi(t)C[/tex]，而且C可以表示成[tex]C=e^{BT}[/tex]，B是一个常数矩阵。
令[tex]P(t)=\Phi(t)e^{-Bt}[/tex]，易知P(t)是T周期的。
下面做变量代换x=P(t)y，并将x代入原方程[tex]\dot{x}=A(t)x[/tex]即可得到[tex]\dot{y}=By[/tex]
至此，就将周期系数的线性方程约化为常系数方程。

Floquet 定理具有非常重要的意义，因为它的高度概括性，使得它能应用在自然科学的很多领域，据我所知量子力学当中有这样一个结论：电子在一类周期势中运动时，其定态波函数总可以表示成一个平面波乘以适当的与势同周期的周期函数。在 Floquet 定理中正是[tex]\Phi(t)=P(t)e^{-BT}[/tex]。此外，在传染病模型等很多领域，都可以看到 Floquet 定理。

我的本科毕业论文正是关于 Floquet 定理，我所要研究的问题就是寻找一些普遍的情况，使得在这些情况下对于实系统[tex]\dot{x}=A(t)x[/tex]可以找到实的T周期变换x=P(t)y（而这在一般情况下是不能满足的）。

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