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数学

数学是被发现的还是被发明的？

周二, 2008-04-29 00:29 — Yan

Solidot 上有个有趣的帖子： 数学是被发现呢还是被发明呢？指向 Science News 上这篇文章：Still debating with Plato。

柏拉图主义者的回答是“被发现”，这些人中包括了著名的数学物理学家罗杰彭罗斯(Roger Penrose)爵士。他们认为数学陈述的对和错与个人信仰无关，暗示它们是某种客观现实。这又引发了一个奇怪的想法：客观，那它又在何处。数学真理真的在我们的想象之前就存在？不过从另一方面说，如果数学是被创造的，为什么2 + 2不能等于5呢？

这里学数学和理论物理的人不少，也许会对这个问题也感兴趣吧。

数学一直被认为非常特别，是科学的基础，甚至独立于科学。但我个人会认为数学和物理、音乐一样，依赖于人。如果有外星人存在，那他们很可能会有非常不同的“数学”。如果你持相反观点，请说服我。：）

Science News 上这篇文章引用了欧洲数学学会时事通讯 2007 年六月期上一篇文章 Let Platonism Die。同时还引用了今年的六月期上的三篇文章，这一期应该还没发布。看来值得期待。

补充：发明还是发现，是否可依据“如果人不存在，它还存不存在？”来判断？如果人不存在，数学在哪里呢？

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【推荐】基础数学教科书电子版下载

周日, 2007-12-30 23:16 — kosmos

挑选了一个完整系列的基础数学教科书，都是pdf文件，供下载。
若能认真地遵此教材学习，自可构筑一极其优秀的数学基础。

【项武义】的基础数学系列教程
项先生这套书基本上可以说是，只要念过小学或初中数学，就可以开始念，是一套数学味道很醇正的教材。
基础代数学
基础几何学之一
基础几何学之二
基础分析学之一
基础分析学之二

【陈省身】微积分教材
陈省身应该有更多的人知其名，一代之大师。他这套讲义是其晚年到南开给大学低年级学生的讲课记录，自然也是味道醇正。
第一册
第二册
第三册
第四册
第五册
第六册

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‘Trigonmetry, Calculus & Analytic Geometry’ pdf download

周五, 2007-10-26 09:47 — ipang

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‘Trigonmetry, Calculus & Analytic Geometry’ Category List

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‘Geometry & Algebra’ pdf download

周三, 2007-09-19 10:06 — ipang

有朋友不认识几何画板的.gsp格式，希望我能放出一些通用的来，比如说.pdf。那么我当然要从善如流，我就将这一章的所有课件的完整截图制作成了一个.pdf文件，供有兴趣的朋友们参考。

只是.pdf文件丧失了原课件的很多乐趣，首当其冲的是动态操作，其次有些符号显示不出来。所以这个.pdf文件有那么点儿缺陷在里头，如果大家想体验完整的，我建议还是下载文件，把扩展名改成.gsp，然后用几何画板看。

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图说

周五, 2007-08-10 10:26 — ipang

Proof Without Words，中译一般为：图说一体不证自明，加个书名号就变成了耐尔森的著作。亚马逊上这本书售价30多美元，我买不起。幸运的是学生家里有钱，有个学生从美国回来带了一本，我就顺手牵羊拿过来看。

由于实在是很有用，尤其是对于中学数学教学来说，我决定把整本书扫出来。但是书的规格有点怪，扫描仪放不下，于是我只好用我心爱的H5照。这是第一步，接下来我准备把整本书译一遍（反正没几个字），并把所有的内容全都做成几何画板课件。

这些照片会陆续、分章节放到我的网志上，要声明的是：版权归原作者和出版社所有，我干的只是记录和学习，绝对不会用在商业用途。

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数学笔记（四）

周一, 2007-06-11 02:46 — path2math

这一篇纯属自娱自乐。顺便试一下格志新的DruTex。

设A是可换环。对于A上的n阶矩阵M，把它的特征多项式det(Ix-M)（I是单位矩阵）记为f(x)。Cayley-Hamilton定理说，如果把矩阵M代入它的特征多项式里，得到的结果f(M)是零矩阵。这个学过线性代数的人都知道，不过既然这篇纯属自娱自乐，我就来扯扯这个定理。

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周期线性系统的约化问题

周日, 2007-06-10 00:08 — 魔群月光

由我之前在gezhi里提到的Floquet定理可以得到这样的结果：对于一个T周期的实系统$\dot x=A(t)x$
可以通过2T周期的实变量代换$x=p(t)y$将系统约化成常系数的实系统$\dot x=Bx$
但有的时候，我们需要通过T周期的实变量代换将系统约化。这在理论上是一个比较难的问题，至今没有办法对任意的系统进行这样的操作，我的本科毕业论文是讨论在如下一类情况下，如何做这样的约化。

定理：考虑方程$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x, \varepsilon\in(0,\varepsilon_0), x\in\mathbf R^n$，其中A是n阶实常数矩阵，特征值为$\lambda_1, ..., \lambda_n$，$Q(t)$是$\mathbf R^{n\times n}$中的T周期矩阵。假设
(1) 令$Q(t)=F(\omega t)=F(\theta)$，$\omega=\frac{2\pi}{T}$，$F(\theta)$在$D_{\rho}=\{\rho||Im \theta|\leq\rho\}$上解析,
(2) $|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|\neq 0, \forall k\neq 0$，由周期系统的性质，存在正数$\delta$使得$|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|>2\delta, \forall k\neq 0$,
那么，当$\varepsilon_0$充分小且$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$时，实系统$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x$可以通过T周期的实变换约化为实常数系统$\dot y=By$。

可见，在对实的常系数系统做T周期的小扰动时，存在一个T周期实变换将系统约化。这个命题的证明主要是运用了迭代思想，我将在以后大致进行说明，迭代思想在动力系统中非常关键，比如重要的KAM理论。

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第四集 追逐无尽的身影

周日, 2007-05-06 15:39 — ipang

原文地址：第四集 追逐无尽的身影

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Floquet 定理

周四, 2007-04-26 10:53 — 魔群月光

线性周期系统当中最重要的定理就是 Floquet 定理。这个定理的意思是一个具有周期系数的线性常微分方程可以通过约化成为一个常系数的常微分方程。考虑方程：
\dot{x}=A(t)x，其中A(t)关于t是T周期的。
首先可以证明对于方程的一个基解矩阵\Phi(t)，\Phi(t+T)也是方程的基解矩阵，于是存在一个常矩阵C满足\Phi(t+T)=\Phi(t)C，而且C可以表示成C=e^{BT}，B是一个常数矩阵。
令P(t)=\Phi(t)e^{-Bt}，易知P(t)是T周期的。
下面做变量代换x=P(t)y，并将x代入原方程\dot{x}=A(t)x即可得到\dot{y}=By
至此，就将周期系数的线性方程约化为常系数方程。

Floquet 定理具有非常重要的意义，因为它的高度概括性，使得它能应用在自然科学的很多领域，据我所知量子力学当中有这样一个结论：电子在一类周期势中运动时，其定态波函数总可以表示成一个平面波乘以适当的与势同周期的周期函数。在 Floquet 定理中正是\Phi(t)=P(t)e^{-BT}。此外，在传染病模型等很多领域，都可以看到 Floquet 定理。

我的本科毕业论文正是关于 Floquet 定理，我所要研究的问题就是寻找一些普遍的情况，使得在这些情况下对于实系统\dot{x}=A(t)x可以找到实的T周期变换x=P(t)y（而这在一般情况下是不能满足的）。

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第三集 大爷今年八十四

周四, 2007-04-19 15:32 — ipang

原文地址：第三集 大爷今年八十四

当阿基米德进入知天命之年，阿波罗尼奥斯1还是个不知天高地厚的小伙子。他虽然在数学上表现得才华横溢，但与前者岁数上25年的差距使得他在阿基米德面前还是略显浮躁轻狂。有那么一天，阿波罗尼奥斯向长者炫耀自己已经完全掌握了大数的奥妙，言下之意是从阿基米德这学不到什么东西了。阿基米德听完他的“豪言”以后又好气又好笑，决定弄个题目折腾下这个小兔崽子，于是他说：

啊，朋友，如果你真的智慧过人，那么就来算算群牛的数目吧。它们蒙受太阳神的眷顾，自由的在广袤的西西里平原吃草。按毛色它们被分成4组：白、黑、棕、花，每种牛又分公、母。在公牛中，白牛数多于棕牛数，多出之数相当于全体黑牛数的1/2+1/3；黑牛数多于棕牛数，多出之数相当于全体花牛数的1/4+1/5；花牛数多于棕牛数，多出之数相当于全体白牛数的1/6+1/7；在母牛中，白牛数是全体黑牛数的1/3+1/4；黑牛数是全体花牛数的1/4+1/5；花牛数是全体棕牛数的1/5+1/6；棕牛数是全体白牛数的1/6+1/7。试问这帮牛有多少头？

阿波罗尼奥斯光看完题目就晕菜了。不料阿基米德还觉得太便宜这小子，于是又加了两行代码升级。他心怀不轨的继续打击阿波罗尼奥斯：啊，朋友，你就算解出上述问题，还称不上精通大数。要知道太阳神无所不能，他把白公牛与黑公牛放牧在正方形的牧场，而把花公牛和棕公牛在正三角形草原放牧2。这你要是都搞得定，那你可真是个专家了。

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