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魔群月光 的blog

听中正大学校长吴志扬的演讲

周五, 2008-04-04 19:03 — 魔群月光

星期三，台湾中正大学的校长吴志扬来南大做了演讲。原定的题目是《时空中的牛顿方程》，因考虑到避免演讲太过专业化，能够让更多的人接受，将题目改成了《几何发展简史》，吴志扬正是拓扑与微分几何方面的专家。

吴志扬根据自己多年对几何的思考选出了人类历史上几何学发展的十件大事，并说明了为什么这十件事是重要的。

1. 毕达哥拉斯定理（勾股定理）：这个定理的诞生标志着人类有了方向的概念，向东走3步，再向南走4步，等于转一个角度走5步。吴教授说任何一个民族，如果不能理解这个定理（是不是本民族发现的倒不重要）就不可能有真正的文明，中国人懂这个定理，埃及人也懂这个定理，否则他们造不出金字塔。

2. 阿基米德测球的体积。还有中国人也发现的一个定理，就是两个物体，无论形状是否相同，只要每个横截面的面积和高度都一样，那么它们的体积就相同。阿基米德很会计算物体的面积和体积，这是因为他当时已经会求一些简单的无穷级数了。

3. 笛卡尔的坐标系。从数学的角度来说，坐标系的发明使得几何问题可以代数化，由此推出了Galois理论，再进一步就是代数几何。同时，吴志扬还认为这是现代西方国家拥有高度文明并领先东方的基础。

4. Newton和Leibniz发明微积分，以及力学理论的建立，万有引力定律的发现。在这之前，人类虽然会计算诸如圆和矩形的面积，但对不规则的几何体则束手无策，微积分发明后，不规则的图形面积也可以计算了。

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周期线性系统的约化问题

周日, 2007-06-10 00:08 — 魔群月光

由我之前在gezhi里提到的Floquet定理可以得到这样的结果：对于一个T周期的实系统$\dot x=A(t)x$
可以通过2T周期的实变量代换$x=p(t)y$将系统约化成常系数的实系统$\dot x=Bx$
但有的时候，我们需要通过T周期的实变量代换将系统约化。这在理论上是一个比较难的问题，至今没有办法对任意的系统进行这样的操作，我的本科毕业论文是讨论在如下一类情况下，如何做这样的约化。

定理：考虑方程$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x, \varepsilon\in(0,\varepsilon_0), x\in\mathbf R^n$，其中A是n阶实常数矩阵，特征值为$\lambda_1, ..., \lambda_n$，$Q(t)$是$\mathbf R^{n\times n}$中的T周期矩阵。假设
(1) 令$Q(t)=F(\omega t)=F(\theta)$，$\omega=\frac{2\pi}{T}$，$F(\theta)$在$D_{\rho}=\{\rho||Im \theta|\leq\rho\}$上解析,
(2) $|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|\neq 0, \forall k\neq 0$，由周期系统的性质，存在正数$\delta$使得$|\lambda_i-\lambda_j-\frac{2k\pi}{T}\sqrt{-1}|>2\delta, \forall k\neq 0$,
那么，当$\varepsilon_0$充分小且$\varepsilon\in(0, \varepsilon_0)$时，实系统$\dot x=(A+\varepsilon Q(t))x$可以通过T周期的实变换约化为实常数系统$\dot y=By$。

可见，在对实的常系数系统做T周期的小扰动时，存在一个T周期实变换将系统约化。这个命题的证明主要是运用了迭代思想，我将在以后大致进行说明，迭代思想在动力系统中非常关键，比如重要的KAM理论。

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Floquet 定理

周四, 2007-04-26 10:53 — 魔群月光

线性周期系统当中最重要的定理就是 Floquet 定理。这个定理的意思是一个具有周期系数的线性常微分方程可以通过约化成为一个常系数的常微分方程。考虑方程：
\dot{x}=A(t)x，其中A(t)关于t是T周期的。
首先可以证明对于方程的一个基解矩阵\Phi(t)，\Phi(t+T)也是方程的基解矩阵，于是存在一个常矩阵C满足\Phi(t+T)=\Phi(t)C，而且C可以表示成C=e^{BT}，B是一个常数矩阵。
令P(t)=\Phi(t)e^{-Bt}，易知P(t)是T周期的。
下面做变量代换x=P(t)y，并将x代入原方程\dot{x}=A(t)x即可得到\dot{y}=By
至此，就将周期系数的线性方程约化为常系数方程。

Floquet 定理具有非常重要的意义，因为它的高度概括性，使得它能应用在自然科学的很多领域，据我所知量子力学当中有这样一个结论：电子在一类周期势中运动时，其定态波函数总可以表示成一个平面波乘以适当的与势同周期的周期函数。在 Floquet 定理中正是\Phi(t)=P(t)e^{-BT}。此外，在传染病模型等很多领域，都可以看到 Floquet 定理。

我的本科毕业论文正是关于 Floquet 定理，我所要研究的问题就是寻找一些普遍的情况，使得在这些情况下对于实系统\dot{x}=A(t)x可以找到实的T周期变换x=P(t)y（而这在一般情况下是不能满足的）。

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长颈鹿与河马

周日, 2007-03-04 01:39 — 魔群月光

今天读俄罗斯的《微分几何与拓扑学简明教程》，看到一个很有意思的东西。

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测度理论（5）

周日, 2007-03-04 00:17 — 魔群月光

这应该是“测度理论”专题的最后一篇文章。第四篇中，我提到仅用外测度的前三条性质加上开集的可测性这一条就能得到外测度的第四条性质，同时我还指出，这有可能预示着可以以开集为基础定义测度，这一篇我们就来详细地看这个问题。

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测度理论（4）

周五, 2007-03-02 22:31 — 魔群月光

我们已经得到了测度和可测集的定义，简言之，测度就是可测集的外测度。到目前为止，我们几乎又进入了一个较为抽象的阶段，我们知道测度和可测集，但却都是在概念的意义上，而对可测集缺乏一个基本的认识，仅仅Caratheodory条件并不能非常直观或者说直接的说明可测集与我们已经熟知的一些集合的关系，这一节，我们就是要从这个角度入手，更进一步的认识可测集的性质。

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测度理论（3）

周四, 2007-03-01 12:00 — 魔群月光

上一篇结束的时候提到了外测度与传统的体积概念两者之间一个引人注意的差别。这个差别是关于外测度和体积的可加性：传统的体积允许将两个区间的体积相加，只要这两个区间满足不相交的条件；但这一性质，在外测度的范畴内却得不到满足。为什么会有这样的差别？这一篇中，我们首先要考察的就是如果允许这样的加法进行的话，会有什么样的后果或者说结论。我们来构造一个集合：

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测度理论（2）

周三, 2007-02-28 23:44 — 魔群月光

我一直在考虑,是从最抽象的角度说明测度的本质还是通过我们熟知的一些概念深入到某种特殊的测度,再上升到一般.记得杨振林曾经说过,中国的学生擅于演绎,美国的学生擅于归纳,言下之意就是中国的学生从特殊归纳到一般的能力不足.既然如此,我不妨遵循一般教科书的顺序,从普遍易于接受的特殊测度讲起(事实上,对于内容简单的实变函数书来说,这已是其测度理论部分的全部内容).

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测度理论（1）

周五, 2007-02-23 00:26 — 魔群月光

好吧,"我们"知道分形空间中利用的是Hausdorff维数和Hausdorff测度,那么Hausdorff测度是很重要了,但它只是众多特殊,具体的测度中的一个.在计算长方形的面积时,我们用"长乘以宽",一维的度量量可以毫无障碍的过渡到二维,这是一个看似简单的问题,但要把它说清楚却不那么容易.其实,这些问题和传统的数学分析当中,关于积分和极限次序的可交换性这个看似更复杂的问题有着同一个背景.我们习惯于在一个欧氏空间中讨论问题,习惯于其简单清晰的度量概念 (或者

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周四, 2007-02-22 23:48 — 魔群月光

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